método de Newton

  Muitos problemas em matemática podem ser traduzidos na resolução de uma equação do tipo f(x)=0.  

Pesquisa binária. Consiste em dividir sucessivamente em dois um intervalo e escolher em cada passo o subintervalo onde por alguma razâo sabemos estar a solução procurada.

Método de Newton. Em 1690 Joseph Raphson propôs um método iterativo para encontrar as raízes de um polinómio P(x), inspirado numa tentativa prévia de Newton para resolver a equação x³-2x-5=0. A ideia é partir de uma conjectura inicial x₀, possivelmente próxima da verdadeira raiz, e definir recursivamente

O método consiste portanto em iterar a função f(x) = x - P(x)/P'(x).

ex. Compare o método de Newton para aproximar a raiz quadrada de x com o algoritmo de Heron.

Experiência.  A cada zero do polinómio está associada a sua bacia de atração, isto é, o conjunto das conjecturas iniciais cuja trajectória aproxima o zero. É também natural considerar ''infinito'' um ponto atrativo, pois a trajectória de toda a conjetura inicial suficientemente grande (em módulo) tende para infinito. Sobram alguns pontos, dificilmente observáveis!, que separam as diferentes bacias. 

Mais interessante é observar o panorama no plano complexo, onde as bacias são bidimensionais e formam padrões surpreendentes.