conjuntos de Julia/Fatou e de Mandelbrot

Em 1879 Cayley propôs usar o método de Newton para encontrar as raízes complexas de polinómios complexos P(z). O problema natural é encontrar condições sobre a conjectura inicial que impliquem a convergência do algorítmo. Isto quer dizer estudar as iterações da função racional

Álgebra e geometria no plano complexo. A riqueza é devida às estruturas algébrica (e portanto analítica) e geométrica do plano complexo estarem intimamente entrelaçadas.

ex. Investigue o significado geométrico da ''multiplicação'' por um número complexo w=ρeiθ, ou seja, a transformação que envia z em wz.

Experiência: a aplicação ''quadrado''. Investigar a dinâmica do mais simples polinómio não linear,

As trajectórias dos pontos com |z|<1 ou |z|>1 são previsíveis: são assimptóticas a zero ou a ''infinito'', os dois pontos fixos atractivos da transformação. A fronteira entre estas duas bacias é o círculo unitário, onde estão os outros ciclos da transformação.

ex. Estude a dinâmica de f(z) = z2 no círculo unitário. Identifique o círculo com um intervalo unitário, e escreva os seus pontos em base 2.

Família quadrática. Perturbamos agora a aplicação quadrado, e investigamos as iterações da família

dependente do parâmetro complexo c.

Para pequenas perturbações o panorama não pode variar muito. O ponto fixo próximo de 0 continua a ser atrativo, assim como o infinito, e o ponto fixo próximo de 1 continua a ser repulsivo. A fronteira entre as duas bacias será, com alguma sorte, uma curva não muito diferente da circunferência. Quando c cresce (em módulo!), a situação fica logo complicada. Os pontos fixos passam a ser os dois repulsivos, e determinar algebricamente os outros ciclos pode ser um problema bem difícil, como nos ensinou Évariste Galois.

ex. Procure os  pontos periódicos de z2 + c ao variar o parâmetro c.

Dicotomia: conjuntos de Julia e de Fatou. Fixada uma aplicação  da família quadrática (ou uma outra transformação racional de grau superior a um) o plano complexo (ou, melhor, a esfera de Riemann) resulta naturalmente dividido em duas partes. Uma região ''regular'', formada pelos pontos cujas trajectórias são essencialmente previsíveis, e uma região complementar ''caótica'', formada pelos pontos cujas trajectórias têm dependência sensível das condições iniciais. Em homenagem aos dois matemáticos que começaram este caminho, e sem nenhuma razão para escolher um ou outro, estas regiões são hoje em dia chamadas conjunto de Fatou e conjunto de Julia, respetivamente.
Tecnicamente, o conjunto de Fatou F é o conjunto aberto dos pontos onde as iteradas fⁿ formam uma ''família normal''. Os ciclos atrativos, juntamente com as próprias bacias, estão naturalmente dentro do conjunto de Fatou. O conjunto de Julia J  é o complementar do conjunto de Fatou, e pode ser caracterizado como a aderência dos pontos fixos repulsivos.
Quando f(z) é um polinómio (como no caso da nossa família quadrática) é também interessante definir o conjunto de Julia ''cheio'', K, formado pelos pontos cuja trajectória é limitada. A sua fronteira é, com efeito,  o conjunto de Julia.

ex. Escreva um programa para desenhar o conjunto de Julia cheio da transformação f(z) = z2+c. Teste o programa para diferentes valores de c, começando por valores ''pequenos''. obs. Existe um truque para testar a condição num tempo razoável. Basta observar que, se o módulo de z é superior a 2 e ao módulo de c, então módulo de f(z) é superior ao módulo de z.

Experiência. Quando c está suficientemente afastado da origem o conjunto de Julia cheio deixa de ser observável! O que acontece é o seguinte. Conseguimos ''ver'' o conjunto de Julia cheio apenas quando é mesmo ''cheio'', ou seja, quando contém a bacia de atração de um ciclo atrativo. Nestes casos, o ciclo atrai o ponto crítico 0, e o conjunto de Julia é a ''curva'' que limita a bacia. Quando o parâmetro c se afasta suficientemente de zero, a trajectória do ponto crítico ''foge'' para o infinito, e com ela a grande parte das outras trajectórias. O conjunto de Julia cheio fica reduzido ao próprio conjunto de Julia, um conjunto de Cantor ou um dendrite, muito dificilmente observável. Para produzir um desenho que nos dê uma ideia da sua forma, é necessário utilizar um teorema profundo, que diz que o conjunto de Julia é também o conjunto dos pontos de acumulação das trajectórias ''inversas'' de quase todo os pontos do plano complexo. Este truque é utilizado no seguinte applet.

Click once to choose the value of the parameter, click twice to zoom in, click titles to zoom out

A figura desenhada no painel esquerdo, onde podem escolher o valor do parâmetro, é

O conjunto de Mandelbrot. Em 1980,  Benoit Mandelbrot (que era pesquisador na IBM) produziu desenhos do conjunto dos parâmetros complexos c para os quais a trajectória f(0), f²(0), f³(0), ..., fⁿ(0), ... do ponto crítico fica limitada. O resultado surprendente foi este (as cores fora da mancha preta são escolhidas dependendo da velocidade com que a trajectória diverge!). 

Java applet

applet. The Mandelbrot/Julia Set Applet, with live Julia sets from points in the Mandelbrot set, created by James Denvir math.bu.edu/DYSYS/applets/JuliaIteration.html see also JAVA Applets for Chaos and Fractals math.bu.edu/DYSYS/applets/

bibliografia

Lennart Carleson and Theodore W. Gamelin, Complex dynamics, Springer, 1993.

John Milnor, Dynamics in one complex variable: introductory lectures, SUNY at Stony Brook, 1990.

Heinz-Otto Peitgen and Peter H. Richter, The beauty of fractals, Springer-Verlag, 1986.