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sistemas dinâmicos

Departamento de Matemática e Aplicações Universidade do Minho
Fibonacci

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conjuntos de Julia/Fatou e de Mandelbrot

Fibonacci


A história começa com o seguinte


Problema, posto por Leonardo Pisano (1170-1250) (mais conhecido como Fibonacci, ou seja, ''filius Bonacci'') no seu Liber Abaci em 1202:

''Quantos pares de coelhos serão produzidos num ano, começando com um só par,
se em cada mês cada par gera um novo par que se torna produtivo a partir do segundo mês?''





A resposta de Leonardo Pisano consiste no seguinte modelo.



Modelo. Se Fn é o número de pares de coelhos no n-ésimo mês, então

Fn+1 = Fn + Fn-1

Esta é uma ''lei'' que prescreve recursivamente os valores dos Fn dados uns valores iniciais F0 e F1.







 ex. Escreva um programa para calcular os Fn.
obs. Dizer a uma máquina como calcular uma ''função'' obriga a pensar ''o que é uma função''. Por exemplo, numa linguagem como Java ou c++, um código possível é

int Fib(int n)
  {
    if (n==0) return 1;
    else if (n==1) return 1;
    else return Fib(n-1) + Fib(n-2);
  }

A primeira instrução diz à máquina qual o ''domínio'' e o ''contradomínio'' da função Fib. A segunda e a terceira instruções definem o valor de Fib nos pontos 0 e 1. A última instrução define ''recursivamente'' os valores de Fib(n) para n=2,3,4,..., utilizando os valores já calculados.






Experiência. A sequência dos números de Fibonacci começa com 1   1   2   3   5   8   13   21   34   55   89   144   233   377   610   987   1597   2584   ...   , e, como podemos experimentar, cresce muito rapidamente (o que não surpreende, tratando-se de coelhos, animais ''fecunditatis innumerae'' segundo Plínio).

 


Por exemplo, passado um ano o número de pares de coelhos é 233, passados três anos é 2.4157817×107, e passados dez anos é 8.670007...×1024, superior ao número de Avogadro!

 ex. Podem objectar que os coelhos, além de comer e reproduzir-se, também morrem! Corrija o modelo de Fibonacci assumindo que a vida de cada coelho é de um ano. Faz muita diferença?



Melhor é observar os

Quocientes, Qn = Fn+1 / Fn, que representam a taxa de crescimento relativa do número de pares de coelhos num mês, pois

Fn+1 = Qn Fn


Os quocientes também são gerados por uma equação recursiva,

Qn+1 = 1 + 1 / Qn



 ex. Escreva um programa para calcular os Qn, e observe o que acontece quando n cresce.



Experiência. A sequência dos quocientes começa com 1   2   1.5   1.666666667   1.6   1.625   1.615384615   1.619047619   1.617647059   1.618181818   1.617977528   1.618055556   1.618025751   1.618037135   1.618032787   1.618034448   1.618033813   ...   , e parece estabilizar-se, como podem experimentar neste applet.



 



Φ = (1 + 51/2) / 2



Fn+1 ∼ Φ Fn



Taxa de crescimento assimptótica. Se admitimos que, para grandes valores de n, os quocientes Qn são praticamente constantes, então a equação recursiva implica que este valor assimptótico satisfaz Q=1+1/Q, ou seja, é uma raiz da equação quadrática

Q2 = Q + 1

A raiz positiva, tradicionalmente denotada por

Φ = (1 + 51/2) / 2

,

é o único candidato para o valor assimptótico da taxa de crescimento.

Para grandes valores de n, ou seja, do tempo, os números de Fibonacci podem ser estimados utilizando a lei assimptótica

Fn+1 ∼ Φ Fn









A secção.

O número Φ é a razão entre as partes em que cada diagonal de um pentágono regular é cortada por uma outra diagonal.


A figura traçada pelas diagonais, a ''estrela de cinco pontas'', parece ter sido o símbolo da escola Pitagórica, mas não há provas de que Pitágoras conhecesse as propriedades fascinantes deste número.





Na tradição matemática Grega, o número Φ, está relacionado com o problema da

''divisão de um segmento em média e extrema razão''.




O problema é dividir um segmento, de dado comprimento L, em duas partes, de comprimentos X e L-X, de maneira tal que

a razão entre o segmento inteiro e a parte maior seja igual à razão entre as partes maior e menor.


L : X = X : (L-X)


A razão φ =X/L, solução positiva de φ2+φ=1 , era chamada secção.


O número que os Gregos chamavam simplesmente secção, foi chamado divina proportione por Luca Pacioli (num livro ilustrado por Leonardo da Vinci) e medida de ouro por Johannes Kepler (que observou a relação com a sequência de Fibonacci), e sucessivamente passou a ser conhecido como número de ouro ou secção áurea.











Uma solução explícita do problema de Fibonacci (chamada fórmula de Binet) é também possível.

 ex. Determine uma expressão para o n-ésimo número de Fibonacci.
Fn = Φ(n+1) - (1-Φ)(n+1)) / 51/2



Mais curiosidades podem ser vistas em:

 ref. Dr Ron Knott's multimedia web site on the Fibonacci Numbers, the Golden section and the Golden string, hosted by the Mathematics Department of the University of Surrey, UK
www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fibonacci/fib.html
ref. GoldenNumber.net goldennumber.net/architecture.htm



bibliografia

Nuno Crato, Carlos Pereira dos Santos e Luis Tirapicos, A Espiral Dourada, Gradiva, 2006.

Boris Hasselblatt and Anatole Katok, A first course in dynamics, with a panorama of recent developments, Cambridge University Press, 2003.