equação logística
O modelo exponencial descreve suficientemente bem o crescimento de populações para
tempos pequenos (como é possível observar com pequenas colónias de bactérias).
Mas não é muito realista a longo prazo!
Num meio ambiente finito, a escassez dos alimentos faz com que as populações não
possam crescer sem limite.
Uma maneira de modelar a competição pela sobrevivência consiste em acrescentar à
lei exponencial um termo que reduz a taxa de crescimento quando as populações atingem
valores demasiado elevados.
A possibilidade mais simples é adicionarmos um termo negativo e quadrático.
A equação recursiva assume assim a forma
Pn+1 = λ Pn - μ
(Pn)2
O parâmetro
λ / μ = Pmax tem
o significado do valor máximo da população suportada pelo meio ambiente. Com efeito, um valor superior no
tempo n conduz a um valor negativo (ou seja, à extinção)
no tempo n+1. Por esta razão convém usar a variável adimensional
xn = Pn / Pmax, e estudar o
Modelo logístico (do francês logement, ou seja, alojamento)
xn+1 = λ xn(1 - xn)
Os valores do parâmetro λ que não conduzem à extinção em tempo finito estão entre 0 e 4.
O modelo logístico foi introduzido em 1845 pelo matemático
belga Pierre François Verhulst. Foi tornado popular por Robert May no seu famoso artigo "Simple mathematical
models with very complicated dynamics", Nature 261 (1976) 459-467.
Experiencias. A dinâmica é agora muito mais complexa
| | ex. Atribua valores a x0 e a λ e observe o comportamento da sequência x0, x1, x2, x3,...
Consegue fazer previsões sobre o comportamento assimptótico de xn? |
Qual é o comportamento das trajectórias?
Para valores de λ entre 0 e 3, o
comportamento assimptótico das trajectórias é
independente do estado inicial: extinção
assimptótica se λ<1 ou convergência para uma população
estacionária se 1<λ<3
Para valores de λ superiores a 3, o
estado estacionário deixa de existir, e as
populações começam a oscilar com
período 2, depois 4, depois 8, ...
A família logística produz uma ''cascata'' de duplições do período, no
sentido em que existe uma sucessão
λ1 < λ2 < λ3 < ... de valores
do parâmetro tal que, ao passar λn nascem órbitas de
período 2n em proximidade das órbitas de período 2n-1
criadas pelo valor anterior λn-1. Este fenómeno pode ser
facilmente observado com a ajuda de um computador.
| | ex.
Observem o que acontece quando λ passa o valor 3.8284... |
Trajectórias imprevisíveis.
Quando λ = 4, as simulações não mostram nenhuma
regularidade no comportamento assimptótico de uma particular trajectória.
No entanto, não se observam diferenças qualitativas entre trajectórias.
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