Métodos Matemáticos da Física
MAT 2016/17

Objetivos

Pretende-se que o aluno identifique as principais características do comportamento de um sistema dinâmico e analise a sua estabilidade.

Programa sucinto

Equações diferenciais parciais de primeira ordem.

Equações diferenciais parciais de segunda ordem.

Análise de Fourier (série e transformada).

Estudo de algumas equações diferenciais parciais da Física (equação das ondas, equação do calor, equação de Laplace).

Competências a adquirir

Examinar alguns sistemas físicos modelados por equações diferenciais;

Identificar as equações do calor, da onda e de Laplace e descrever os teoremas usuais de unicidade e do máximo;

Aplicar o método da separação de variáveis na resolução de algumas equações às derivadas parciais;

Aplicar alguns métodos para a resolução de equações diferencias com condições iniciais.

Programa

Equações diferenciais parciais. Equações diferenciais parciais (EDPs): problema com condições iniciais e/ou condições de fronteira. Operadores diferenciais lineares, princípio de sobreposição. Ondas planas, dispersão. EDPs de primeira ordem e caraterísticas. Operadores diferenciais lineares, ondas planas e símbolo. Classificação dos operadores diferenciais lineares de grau dois: EDPs elípticas, hiperbólicas e parabólicas. Equação de Laplace, funções harmónicas. Equação de onda, ondas planas. Solução de d'Alembert: ondas viajantes. Equação de calor, princípio do máximo, solução fundamental. Teoremas de unicidade e estabilidade.

Separação de variáveis e séries de Fourier.Separação de variáveis, problema de Sturm-Liouville. Corda vibrante, harmónicas, ondas estacionárias. Condução de calor, modos. Séries de Fourier complexas. Séries de Fourier de senos e/ou cosenos. Produto de convolução. Convergência pontual das séries de Fourier. Espaço das funções de quadrado integrável, convergência em média quadrática, identidade de Parseval. Aplicações das séries de Fourier à resolução de EDPs: corda vibrante, condução de calor, equação de Laplace.

Transformada de Fourier. Transformada de Fourier de funções integráveis. Espaço de Schwartz, transformada de Fourier no espaço de Schwartz. Gaussianas e identidades aproximadas. Teorema de inversão. Teorema de Plancherel. Aplicações da transformada de Fourier à resolução de EDPs: difusão e núcleo do calor, fórmula integral de Poisson no semi-plano. Delta de Dirac. Distribuições temperadas. Soluções fundamentais. Potenciais.

Material

Informações: infos_mmf.pdf

Notas: notas_mmf.pdf (18 dez 2016)

Testes e exames: testes_mmf.pdf , recurso_mmf.pdf

Bibliografia

[St08] W. Strauss, Partial Differential Equations, An Introduction, Wiley, 2008.

[Io05] V. Iório, EDP, um Curso de Graduação, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2005.

[SS03] E.M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An introduction, Princeton Lecture in Analysis I, Princeton University Press, 2003.

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação.: 2 testes ao longo do semestre.

Calendário estimado dos testes.
Teste 1: 7 de novembro de 2016.
Teste 2: 5 de janeiro de 2017.

Classificação. A nota final é

N = (T₁+ T₂)/2 onde T₁ e T₂ são as notas obtidas no primeiro e no segundo teste, respetivamente. Os alunos com nota N não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será (N+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N=(E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.