Equações Diferenciais e Cálculo Integral
MIEGI 2011/12

Objectivos

Dar aos alunos os instrumentos básicos para a compreensão e a análise de fenómenos modelados por equações diferenciais ordinárias ou parciais.

Programa

Conceitos gerais sobre equações diferenciais ordinárias: classificação e solução.

Equações diferenciais ordinárias de primeira ordem.

Equações diferenciais ordinárias lineares de ordem superior a um.

Integrais duplos: definição, propriedades e sua determinação; mudança de variável; aplicações.

Integrais triplos: definição e sua determinação usando diferentes sistemas de coordenadas; aplicações.

Equações diferenciais parciais: Método de separação de variáveis; aplicação às equações de calor, de onda e de Laplace.

Resultados de Aprendizagem

Generalizar o conceito de integral em R para R² e R³: definir e calcular integral duplo e triplo. Aplicar estes conceitos no cálculo de áreas e volumes.

Discutir o conceito de solução de uma equação diferencial ordinária e averiguar se determinada relação explícita/implícita entre duas variáveis é uma solução explícita/implícita de determinada equação diferencial ordinária.

Classificar os principais tipos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem, e identificar e determinar a respectiva solução analítica.

Identificar e determinar a solução analítica de equações diferenciais ordinárias lineares homogéneas de ordem n com coeficientes constantes.

Discutir e aplicar o método dos coeficientes indeterminados e o método de variação das constantes para determinar a solução analítica de equações diferenciais ordinárias lineares não homogéneas de ordem n.

Discutir e aplicar o método de separação de variáveis para determinar a solução analítica de equações diferenciais parciais lineares de segunda ordem (em domínios limitados), nomeadamente: equação de calor, equação de onda e equação de Laplace.

Bibliografia essencial

[BDP92] W.E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley, 1992.

[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.

[Rob04] J.C. Robinson, An introduction to ordinary differential equations, Cambridge University Press, 2004.

Programa detalhado

Equações diferenciais ordinárias. Equações diferenciais ordinárias (EDOs): espaço de fases, campos de direcções, curvas integrais, problema com condições iniciais (de Cauchy). Integração numérica e simulações. Campos de vectores e EDOs autónomas. EDOs lineares de primeira ordem. EDOs separáveis e homogéneas. EDOs exactas e campos conservativos. EDOs lineares homogéneas com coeficientes constantes, polinómio característico. Wronskiano e independência linear. Números complexos e oscilações. Princípio de sobreposição. Variação dos parâmetros e coeficientes indeterminados. Oscilador harmónico, oscilações forçadas, batimentos e ressonância.

Integrais múltiplos. Integrais múltiplos e integrais iterados. Definição e propriedades dos integrais duplos. Integrais duplos em coordenadas cartesianas e polares. Teorema de Green. Definição e propriedades dos integrais triplos. Integrais triplos em coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. Fluxo de um campo vectorial e teorema da divergência.

Equações diferenciais parciais. Equações diferenciais parciais (EDPs): problema con condições iniciais e/ou condições de fronteira. EDPs de primeira ordem e características. Operadores diferenciais lineares, símbolos. Classificação dos operadores diferenciais lineares de grau dois: EDPs elípticas, hiperbólicas e parabólicas. Equação de Laplace, funções harmónicas. Equação de onda, ondas planas. Solução de d'Alembert: ondas viajantes. Equação de calor, solução fundamental.

Separação de variáveis e séries de Fourier. Separação de variáveis, problema de Sturm-Liouville. Corda vibrante, harmónicas, ondas estacionárias. Condução de calor, modos. Séries de Fourier complexas. Séries de Fourier de senos e/ou cosenos. Produto de convolução. Convergência pontual das séries de Fourier. Espaço das funções de quadrado integrável, convergência em média quadrática, identidade de Parseval. Aplicações das séries de Fourier à resolução de EDPs: corda vibrante, condução de calor, funções harmónicas.

Material

Informações: infosedci.pdf

Folhas práticas: folhasedci.pdf

Lecture notes:

• lecture_notes_ODEs.pdf

Testes e exames: testesedci.pdf, recursoedci.pdf

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Dois testes ao longo do semestre e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Calendário estimado dos testes.

• Teste 1 (EDOs):
  5ª-feira, 10 de Novembro de 2011, 16h-18h.
  
• Teste 2 (Integrais múltiplos e EDPs):
  5ª-feira, 12 de Janeiro de 2012, 16h-18h.

Classificação. A nota final é

N = T onde T= (T₁+ T₂)/2 e T_k é a nota obtida no k-ésimo teste. Os alunos com nota não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (T+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

mais Bibliografia

[Ap69] T.M. Apostol, Calculus, John Wiley & Sons, 1969.

[Ar85] V.I. Arnold, Equações diferenciais ordinárias, Mir, 1985.

[Bi80] A.V. Bitsadze, Equations of Mathematical Physics, Mir, 1980.

[GdF87] D. Guedes de Figueiredo, Análise de Fourier e equações diferenciais parciais, Projeto Euclides, IMPA, 1987.

[Fo92] G.B. Folland, Fourier analysis and its applications, Brooks/Cole Publishing Company, 1992.

[HC89] D. Hilbert and R. Courant, Methods of mathematical physics, Wiley-VCH, 1989.

[HS74] M.W. Hirsch and S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press, 1974.

[Io05] V. Iório, EDP, um Curso de Graduaçãoo, Coleção Matemática Universitária, IMPA, 2005.

[O'N99] P.V. O'Neil, Beginning Partial Differential Equations, John Wiley & Sons, 1999.

[MF05] P.M. Morse and H. Feshbach, Methods of Theoretical Physics, McGraw-Hill 1953 or Feshbach Publishing 2005.

[Pi91] M.A. Pinsky, Partial Differential Equations and Boundary-Value Problems with Applications, McGraw-Hill, 1991.

[Si91] G.F. Simmons, Differential equations with applications and historical notes, McGraw-Hill, 1991.

[SS03] E.M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction,Princeton University Press, 2003.