Salvatore Cosentino

Complementos de Cálculo e de Geometria Analítica
FIS ENGFIS 2024/25

Resultados de aprendizagem

  • Resolver equações diferenciais lineares de coeficientes constantes.
  • Identificar matrizes diagonalizzáveis em bases ortonormadas
  • Usar a diagonalização para calcular o exponencial de matrizes
  • Identificar cónicas e superfícies quádricas.
  • Identificar a estrutura de grupo e interpretar o significado geométrico de alguns grupos de matrizes.
  • Resolver sistemas de equações diferenciais lineares.


Programa

Equações diferenciais ordinárias. Equação de Newton. Exponencial. Equações diferenciais ordinárias (EDOs). EDOs autónomas, separáveis, lineares de primeira ordem. Substituições. ([Ap69] Vol 1, 8.1-7 e 8.21-28.)

Equações diferenciais lineares. Exponencial complexo e oscilações. Equações diferenciais lineares de segunda ordem de coeficientes constantes. Equações homogéneas, método do polinómio característico. Equações não-homogéneas, método dos coeficientes indeterminados. Oscilador harmónico, oscilações forçadas. ([Ap69] Vol 1, 8.8-19, ou [MW85] Vol 2, 12.6-7)  

Espaços euclidianos e hermíticos. Espaços euclidianos e espaços hermíticos. Norma, desigualdade de Cauchy-Schwarz. Bases ortonormadas, fórmula de Parseval. Ortonormalização de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal, projeção ortogonal. Teorema de aproximação. ([Ap69] Vol 2, 1.11-17)

Teorema espetral. Adjunto de um operador. Operadores auto-adjuntos e simétricos. Operadores anti-hermíticos e normais. Operadores unitários. Teorema espetral. Diagonalização de matrizes. Operadores positivos. ([Ap69] Vol 2, 5.1-9)

Formas quadráticas. Operadores simétricos e formas quadráticas. Quociente de Rayleigh, propriedades estacionárias dos vetores próprios de um operador simétrico. Decomposição polar e valores singulares. Classificação das cónicas e formas normais. Superfícies quadráticas. ([Ap69] Vol 2, 5.12-18)

Grupos de matrizes. Grupos, subgrupos, homomorfismos e isomorfismos. Grupos de matrizes. Grupo linear, grupo linear especial. Grupo ortogonal, rotações. Grupo unitário. Grupo de Lorentz. ([Ap69] Vol 2, 5.10-11 e 5.19-20)

Sistemas lineares di EDOs. Exponencial de uma matriz, cálculo do exponencial. Álgebra de Lie de grupos de matrizes. Sistemas de EDOs, campos lineares. Análise qualitativa: nodos, focos e selas. Sistemas não-homogéneos. ([Ap69] Vol 2, 7.1-10)



Bibliografia

[Ap69] T.M. Apostol, Calculus 1 & 2, John Wiley & Sons, 1969.

[MW85] J.E. Marsden and A. Weinstein, Calculus I & II, Springer, 1985.

[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.

Avisos

  • 1º teste: 5ª-feira, 27 de março de 2025, 14h-16h,
    sala 2-1.05.
  • Atendimento: 4ª-feira 9h-11h, gab. 6-3.48.
  • Horário:
    TP2 : 3ª-feira, 14h-16h, sala 1-2.20.
    TP1 : 3ª-feira, 11h-13h, sala 1-2.23.
    T: 5ª-feira, 14h-16h, sala 3-0.07.


Material

Informações: infos_ccga.pdf

Notas: notas_ccga.pdf

Testes e exames:



Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Dois testes ao longo do semestre.

Calendário estimado dos testes.

  • Teste 1: 5ª-feira, 27 de março de 2025.
  • Teste 2: 5ª-feira, 29 de maio de 2025.

Classificação. A nota final é N = (T1+ T2)/2, onde Tk é a nota obtida no k-ésimo teste.



Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é N = E, onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2, onde O é a nota obtida na prova oral.