Programa
Equações diferenciais ordinárias.
Equação de Newton. Exponencial. Equações diferenciais ordinárias (EDOs). EDOs autónomas, separáveis, lineares de primeira ordem. Substituições. ([Ap69] Vol 1, 8.1-7 e 8.21-28.)
Equações diferenciais lineares.
Exponencial complexo e oscilações. Equações diferenciais lineares de segunda ordem de coeficientes constantes. Equações homogéneas, método do polinómio característico. Equações não-homogéneas, método dos coeficientes indeterminados. Oscilador harmónico, oscilações forçadas. ([Ap69] Vol 1, 8.8-19, ou [MW85] Vol 2, 12.6-7)
Espaços euclidianos e hermíticos. Espaços euclidianos e espaços hermíticos. Norma, desigualdade de Cauchy-Schwarz. Bases ortonormadas, fórmula de Parseval. Ortonormalização de Gram-Schmidt. Complemento ortogonal, projeção ortogonal. Teorema de aproximação.
([Ap69] Vol 2, 1.11-17)
Teorema espetral. Adjunto de um operador. Operadores auto-adjuntos e simétricos. Operadores anti-hermíticos e normais. Operadores unitários. Teorema espetral. Diagonalização de matrizes. Operadores positivos.
([Ap69] Vol 2, 5.1-9)
Formas quadráticas. Operadores simétricos e formas quadráticas. Quociente de Rayleigh, propriedades estacionárias dos vetores próprios de um operador simétrico. Decomposição polar e valores singulares. Classificação das cónicas e formas normais. Superfícies quadráticas.
([Ap69] Vol 2, 5.12-18)
Grupos de matrizes.
Grupos, subgrupos, homomorfismos e isomorfismos. Grupos de matrizes.
Grupo linear, grupo linear especial. Grupo ortogonal, rotações. Grupo unitário. Grupo de Lorentz. ([Ap69] Vol 2, 5.10-11 e 5.19-20)
Sistemas lineares di EDOs.
Exponencial de uma matriz, cálculo do exponencial. Álgebra de Lie de grupos de matrizes.
Sistemas de EDOs, campos lineares. Análise qualitativa: nodos, focos e selas. Sistemas não-homogéneos.
([Ap69] Vol 2, 7.1-10)
Bibliografia
[Ap69]
T.M. Apostol, Calculus 1 & 2, John Wiley & Sons, 1969.
[MW85]
J.E. Marsden and A. Weinstein, Calculus I & II, Springer, 1985.
[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.