Complementos de Análise Matemática EE
MIEMEC 2016/17

Objetivos da unidade curricular e competências a adquirir

Dar aos alunos os instrumentos básicos para a compreensão e a análise de fenómenos modelados por equações diferenciais ordinárias ou parciais.

Conteúdos programáticos

Introdução às equações diferenciais ordinárias. Classificação de equações diferenciais. Soluções explícitas e implícitas de equações diferenciais. Problemas con condições iniciais e problemas com condições de fronteira.

Resolução analítica de equações diferenciais de primeira ordem. Equações diferenciais exatas. Equações diferenciais separáveis. Equações diferenciais homogéneas. Equações diferenciais lineares.

Resolução analítica de equações diferenciais de ordem n. Propriedades das equações diferenciais lineares homogéneas. Propriedades das equações diferenciais lineares não homogéneas. Equações lineares homogéneas com coeficientes constantes. Método dos coeficientes indeterminados. Método de variação das constantes.

A transformada de Laplace. Definição e existência. Propriedades básicas. Transformada inversa de Laplace e convolução. Aplicação à resolução de problemas com condições iniciais.

Introdução às equações diferenciais parciais. Problemas com condições de fronteira: valores próprios e funções próprias. Classificação de equações diferenciais parciais de segunda ordem. O princípio da sobreposição.

Separação de variáveis, séries de Fourier e aplicações. A equação de calor; separação de variáveis. Séries de Fourier: definição e principais propriedades. Aplicação à equação de calor. Aplicação à equação de onda. Aplicação à equação de Laplace.

Syllabus

Introduction to ordinary differential equations. Classification of differential equations. Explicit and implicit solutions of differential equations. Initial value and boundary problems.

Analytic solution of first order ordinary differential equations. Exact differential equations. Separable differential equations. Homogeneous differential equations. Linear differential equations.

Analytic solution of n-th order ordinary differential equations. Properties of homogeneous differential equations. Properties of non-homogeneous differential equations. Linear homogeneous equations with constant coefficients. Method of undetermined coefficients. Method of variation of constants.

Laplace transform. Definition and existence. Basic properties. Inverse Laplace transform and convolution. Application to the solution of initial value probems for ordinary differential equations.

Introduction to partial differential equations. problem with boundary conditions: eigenvalues and eigenfunctions. Classification of second order partial differential equations. Superposition principle.

Separation of variables, Fourier series and applictaions. Heat equation; separation of variables. Fourier series; definition and basic properties. Application to the heat equation. Application to the wave equation. Application to the Laplace equation.

Bibliografia

[BDP92] W.E. Boyce and R.C. DiPrima, Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems, John Wiley, 1992.

[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.

[Rob04] J.C. Robinson, An introduction to ordinary differential equations, Cambridge University Press, 2004.

Material

Informações: infos_cam.pdf

Notas: notas_cam.pdf (20 dez 2016)

Testes e exames: testes_cam.pdf , recurso_cam.pdf

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Dois testes ao longo do semestre e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Calendário estimado dos testes.

• Teste 1 (EDOs e transformada de Laplace):
  8 de novembro de 2016.
  
• Teste 2 (EDPs e séries de Fourier):
  3 de janeiro de 2017.

Classificação. A nota final é

N = T onde T= (T₁+ T₂)/2 e T_k é a nota obtida no k-ésimo teste. Os alunos com nota não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (T+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.