Análise Matemática
BIOQ 2011/12

Objectivos

Programa

Modelos matemáticos. Problemas e modelos elementares. Progressão e série geométrica. Sucessão de Fibonacci. Sucessões e séries. Modelos discreto e iteração, equações recursivas. Estados estacionários e trajectórias periiódicas. Análise gráfica. Modelos de crescimento e decaimento, modelo logístico, modelos de seleção natural.

Diferenciação. Velocidade média e derivada. Derivadas elementares. Derivadas de um produto e de um quociente. Derivada da função composta, regra da cadeia. Derivada da função inversa. Teorema do valor médio. Aproximação linear. Estudo de funções, máximos e mínimos locais. Exemplos de aplicações da derivada.

Integração. Método de exaustão para calcular áreas. Integral de Riemann e suas propriedades elementares. Teorema fundamental do cálculo, primitivas. Métodos de integração: integração por substituição, integração por partes. Logaritmo e exponencial.

Equações diferenciais ordinárias. Equações diferenciais ordinárias (EDOs). Integração de EDOs autónomas e separáveis. Integração de EDOs lineares de primeira ordem. Modelos contínuos: crescimento/decaimento exponencial, equação logística, reações químicas.

Cálculo para funções no plano. Caminhos e curvas. Derivada de um caminho, velocidade e aceleração. Campos escalares. Gráficos, curvas/superfícies de nível. Derivadas de campos escalares: derivadas parciais, gradiente e derivadas direccionais. Recta normal e recta/plano tangente. Integrais duplos, integrais iterados. Cálculo de áreas e volumes. Integrais duplos em coordenadas polares.

Métodos computacionais. Aproximação polinomial. Simulação de sistemas discretos. Análise qualitativa, estabilidade dos estados estacionários. Algoritmo de Heron. Método de Newton. Simulação de sistemas de EDOs. Método de Euler. Oscilador harmónico, sistema de Lotka-Volterra. Modelos não lineares.

Resultados de aprendizagem

• Aplicar um sistema computacional matemático na resolução de problemas.
• Aplicar diferentes modelos matemáticos a dados experimentais.
• Reproduzir o conceito de integral e suas propriedades e calcular integrais, tanto analiticamente, como numericamente.
• Reproduzir os conceitos de derivada e integral de funções no plano e calcular, tanto derivadas parciais, como integrais duplos.
• Identificar diferentes tipos de equações diferenciais ordinárias de primeira ordem e descrever os respectivos métodos de resolução, tanto analíticos, como numéricos.

Bibliografia

[Ap99] T.M. Apostol, Cálculo, Editorial Reverté, 1999.

[HK03] B. Hasselblatt and A. Katok, A first course in dynamics: with a panorama of recent developments, Cambridge University Press 2003.

[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.

[Ro99] J.C. Robinson, Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamic and Chaos, CRC Press, Cambridge 1999.

Material

Informações: infosam.pdf

Lecture notes: notasam.pdf

Folhas práticas: folhasam.pdf

Testes e exames: testesam.pdf , recursoam.pdf

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License.

Software

Maxima
GeoGebra (see the tutorial by Elisha Peterson)

Simulações

GeoGebra codes: Logistic.ggb , Growth.ggb

GeoGebra applets: Logistic.html

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Dois testes ao longo do semestre e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Calendário estimado dos testes.

• Teste 1:
  ?ª-feira, 22 e 23 de Novembro de 2011.
  
• Teste 2:
  ?ª-feira, 17 e 18 de Janeiro de 2012.

Classificação. A nota final é

N = T onde T= (T₁+ T₂)/2 e T_k é a nota obtida no k-ésimo teste. Os alunos com nota não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (T+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.