Análise Complexa
ENGFIS FIS 2014/15

Objetivos da unidade curricular e competências a adquirir

Conhecimentos básicos da Análise Complexa e da Teoria das Séries de Fourier.

• Relacionar a noção de derivada de uma função complexa com as condições de Cauchy-Riemann.
• Aplicar os teoremas fundamentais da análise complexa.
• Utilizar a técnica de desenvolvimento em série de Laurent no estudo de singularidades de funções complexas.
• Aplicar o método dos resíduos ao cálculo de integrais.
• Utilizar transformações conformes para resolução de problemas de contorno para equação de Laplace em caso de domínios de geometria simples.
• Compreender o conceito de expansão de uma função em série de Fourier.

Conteúdos programáticos

Introdução à análise complexa. Álgebra e geometria do plano complexo. Funções holomorfas. Equações de Cauchy-Riemann e funções harmónicas.

Séries de potências. Exponencial e funções trigonométricas. Integrais de contorno, primitivas, teorema de Cauchy-Goursat. Fórmula de Cauchy. Teorema de Taylor. Séries de Laurent, singularidades. Teorema dos resíduos, aplicações ao cálculo de integrais reais.

Séries e transformada de Fourier. Método de separação de variáveis, corda vibrante e difusão. Séries de Fourier, propriedades, convolução. Convergência das séries de Fourier. Transformada de Fourier.

Transformações conformes. Transformações conformes, pontos críticos, transformações inversas, transformações envolvendo arcos de círculos.

Avaliação assimptótica de integrais. Avaliação assimptótica de integrais do tipo Laplace e do tipo Fourier; método do ''steepest descent''.

Bibliografia

[Ah799] L.V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979.

[Fo92] G.B. Folland, Fourier analysis and its applications, AMS, 1992.

[La03] S. Lang, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2003.

[LC72] M. Laurentiev et B. Chabat, Méthodes de la théorie des fonctions d'une variable complexe, MIR, 1972.

[Ma99] J.E. Marsden, Basic complex analysis, W.H. Freeman, 1999.

[MG14] P. Martins Girão, Introdução à Análise Complexa, Séries de Fourier e Equações Diferenciais, IST Press, 2014.

[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.

[Ru87] W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1987.

[Sm03] G. Smirnov, Análise Complexa e Aplicações, Escolar Editora, 2003.

[SS03I] E.M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003.

[SS03II] E.M. Stein and R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003.

Material

Informações: infos_ac.pdf

Folhas práticas: folhas_ac.pdf (7 jan 2015)

Testes e exames: testes_ac.pdf , recurso_ac.pdf , especial_ac.pdf

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Dois testes ao longo do semestre e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Calendário estimado dos testes.

• Teste 1: 5 de novembro de 2014, 9h.
• Teste 2: 14 de janeiro de 2015, 9h.

Classificação. A nota final é

N = T onde T= (T₁+ T₂)/2 e T_k é a nota obtida no k-ésimo teste. Os alunos com nota não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (T+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Metodologia de ensino

As aulas teóricas serão dedicadas à exposição e explicação dos conteúdos e à demonstração de resultados. As aulas teórico-práticas serão dedicadas à resolução de exercícios e problemas.

A avaliação periódica será baseada na realização de testes parciais.