Tópicos de Sistemas Dinâmicos
MAT 2011/12

Objectivos

Estudar conceitos e exemplos elementares de sistemas dinâmicos, promover a compreensão das relações entre as diferentes áreas da matemática, e encorajar o uso de software matemático para explorar problemas e exemplos.

Programa sucinto

Iteração e transformações, fluxos. Órbitas periódicas, natureza e estabilidade. Bifurcações, cascata de Feigenbaum. Conjuntos invariantes e atractores. Fractais. Introdução à dinâmica topológica. Recorrências, sistemas caóticos. Transformações expansoras. Transformações hiperbólicas. Dinâmica simbólica. Dinâmica complexa (conjuntos de Julia e de Mandelbrot). Entropia. Introdução à teoria ergódica.

Resultados de aprendizagem

• Descrever as nocções básicas no estudo qualitativo das trajectórias.
• Dominar as técnicas de análise local das órbitas.
• Compreender as principais classes de transformações caóticas.
• Trabalhar exemplos de dinâmica em dimensão baixa.
• Aplicar os conceitos e as técnicas ao estudo de exemplos.

Programa

Crescimento e decaimento. Sucessão de Fibonacci. Progressão e série geométrica. Modelo exponencial.

Iteração e modelos discretos. Transformações. Análise gráfica (cobweb plot). Transformação logística. . Equações às diferenças finitas, polinómio característico.

Fluxos e simulações. Equações diferenciais ordinárias. Equações autónomas, fluxos. Equações lineares. Simulações

Sistemas dinâmicos topológicos. Trajectórias, órbitas, estados estacionários, órbitas periódicas. Órbitas periódicas, observáveis, conjuntos invariantes.

Números e dinâmica. Representação decimal. Rotações do círculo. Multiplicação por d. Deslocamentos de Bernoulli. Fracções contínuas.

Órbitas regulares e perturbações. Teoremas do ponto fixo. Bacia de atração. Princípio das contrações. Método de Heron.

Linearização. Natureza e estabilidade dos pontos fixos. Método de Newton.

Recorrências. Conjuntos limite. Pontos recorrentes. Conjunto não-errante.

Transitividade e órbitas densas. Transformações transitivas. Conjuntos e transformações minimais.

Perda de memória e independência assimptótica. Dependência sensível das condições iniciais. Transformação tenda. Transformações expansoras. Expansão decimal.

Conjuntos de Cantor, codificação Dinâmica dos deslocamentos de Bernoulli. Conjunto de Cantor. Conjuntos invariantes, atractores.

Dinâmica complexa. Interação de polinómios e funções racionais. Conjuntos de Julia e de Mandelbrot.

Introdução à teoria ergódica. Medidas invariantes. Médias temporais, teorema di Birkhoff. Ergodicidade.

Bibliografia

[Ar85] V.I. Arnold, Equações diferenciais ordinárias, MIR 1985.

[Ar87] V.I. Arnold, Métodos matemáticos da mecânica clássica, MIR 1987.

[De89] R.L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, 1989.

[De92] R.L. Devaney, A first course in chaotic dynamical systems, Westview Press 1992.

[HK03] B. Hasselblatt and A. Katok, A first course in dynamics: with a panorama of recent developments, Cambridge University Press 2003.

[HS74] M.W. Hirsch and S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press (Pure and Applied Mathematics. A series of Monographs and Textbooks), 1974.

[HW59] G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press 1959.

[Kh35] A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935 [translation by University of Chicago Press, 1954]

[KH95] A. Katok and B. Hasselblat, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge University Press 1995.

[Ro99] J.C. Robinson, Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamic and Chaos, CRC Press, Cambridge 1999.

[Ro04] J.C. Robinson, An introduction to ordinary differential equations, Cambridge University Press, 2004.

[St94] S.H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison-Wesley, 1994.

[Vi06] J. Villate, Introduçãoo aos sistemas dinâmicos. Uma abordagem prática com Maxima, 2006.

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação.: 2 testes ao longo do semestre, e um trabalho de grupo.

Trabalho de grupo. Cada grupo é composto por um número de alunos inferior ou igual a 2. O trabalho consiste no estudo de um problema/tema proposto (na página web da disciplina) ou aprovado pelo docente. A composição dos grupos e os temas escolhidos devem ser comunicados ao docente até o dia 30 de Novembro de 2011. O desenvolvimento do trabalho será acompanhado durante as aulas TP e no horário de atendimento do docente. A avaliaçãoo dos trabalhos será baseada numa apresentação oral, feita durante as aulas TP, e num breve relatório escrito. Práticas fraudolentas serão devidamente penalizadas. A data de cada apresentação será decidida pelo docente, e comunicada aos alunos com uma semana de antecedência. O prazo para entrega dos relatórios e apresentação dos trabalhos é o dia 13 de Janeiro de 2010.

Calendário estimado dos testes.
Teste 1: 3ª-feira, 8 de Novembro de 2011, 10h30-12h-30, LabMat 4043.
Teste 2: 3ª-feira, 17 de Janeiro de 2012, 9h-11h, LabMat?.

Classificação. A nota final é

N = (T₁+ T₂+ T_t)/3 onde T₁ e T₂ são as notas obtidas nos testes e T_t é a nota obtida no trabalho de grupo.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Material

Informações: infostsd.pdf

Lecture notes: notastsd.pdf

Folhas práticas: folhastsd.pdf

Testes e exames: testestsd.pdf , recursotsd.pdf

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License.

Software

Maxima
GeoGebra (see the tutorial by Elisha Peterson)

Problemas/temas para o trabalho

• Transformação logística
• Conjuntos de Cantor
• Frações contínuas e mapa de Gauss
• Somas de Gauss
• Mapas de Anosov
• Homeomorfismos do círculo
• Conjuntos de Julia e Mandelbrot
• Fractais de Newton
• Iterated Function Systems
• Cascata de Feigenbaum
• Transformação do padeiro
• Entropia topológica
• Números normais
• Equidistribuição de Kronecker-Weyl
• Dyadic adding machine
• Pêndulo duplo
• Sistema de Lotka-Volterra
• Sistema de Van der Pol
• Atractor de Lorenz
• Transformação de Henon

Simulações

GeoGebra codes: Logistic.ggb

GeoGebra applets: Logistic.html