Tópicos de Sistemas Dinâmicos
MAT 2010/11

Programa

Iteração e transformações, fluxos. Órbitas periódicas, natureza e estabilidade. Bifurcações, cascata de Feigenbaum. Conjuntos invariantes e atractores. Fractais. Introdução à dinâmica topológica. Recorrências, sistemas caóticos. Transformações expansoras. Transformações hiperbólicas. Dinâmica simbólica. Dinâmica complexa (conjuntos de Julia e de Mandelbrot). Entropia. Introdução à teoria ergódica.

Resultados de aprendizagem

• Descrever as nocções básicas no estudo qualitativo das trajectórias.
• Dominar as técnicas de análise local das órbitas.
• Compreender as principais classes de transformações caóticas.
• Trabalhar exemplos de dinâmica em dimensão baixa.
• Aplicar os conceitos e as técnicas ao estudo de exemplos.

Bibliografia

[Ar85] V.I. Arnold, Equações diferenciais ordinárias, MIR 1985.

[Ar87] V.I. Arnold, Métodos matemáticos da mecânica clássica, MIR 1987.

[De89] R.L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, 1989.

[De92] R.L. Devaney, A first course in chaotic dynamical systems, Westview Press 1992.

[HK03] B. Hasselblatt and A. Katok, A first course in dynamics: with a panorama of recent developments, Cambridge University Press 2003.

[HS74] M.W. Hirsch and S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press (Pure and Applied Mathematics. A series of Monographs and Textbooks), 1974.

[HW59] G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press 1959.

[Kh35] A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935 [translation by University of Chicago Press, 1954]

[KH95] A. Katok and B. Hasselblat, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge University Press 1995.

[Ro99] J.C. Robinson, Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamic and Chaos, CRC Press, Cambridge 1999.

[Ro04] J.C. Robinson, An introduction to ordinary differential equations, Cambridge University Press, 2004.

[St94] S.H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison-Wesley, 1994.

[Vi06] J. Villate, Introduçãoo aos sistemas dinâmicos. Uma abordagem prática com Maxima, 2006.

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação.: 2 testes ao longo do semestre, e um trabalho de grupo.

Trabalho de grupo. Cada grupo é composto por um número de alunos inferior ou igual a 2. O trabalho consiste no estudo de um problema/tema proposto (na página web da disciplina) ou aprovado pelo docente. A composiçãoo dos grupos e os temas escolhidos devem ser comunicados ao docente até o dia 30 de Novembro de 2010. O desenvolvimento do trabalho será acompanhado durante as aulas TP e no horário de atendimento do docente. A avaliaçãoo dos trabalhos será baseada numa apresentação oral, feita durante as aulas TP, e num breve relatório escrito. Práticas fraudolentas serão devidamente penalizadas. A data de cada apresentação será decidida pelo docente, e comunicada aos alunos com uma semana de antecedência. O prazo para entrega dos relatórios e apresentação dos trabalhos é o dia 13 de Janeiro de 2010.

Calendário estimado dos testes.
Teste 1: 5ª-feira, 11 de Novembro de 2010, 9h-11h, LabMat3.
Teste 2: 6ª-feira, 21 de Janeiro de 2011, 14h-16h, LabMat2.

Classificação. A nota final é

N = (T₁+ T₂+ T_t)/3 onde T₁ e T₂ são as notas obtidas nos testes e T_t é a nota obtida no trabalho de grupo.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Material

Informações: infostsd.pdf

Lecture notes: notastsd.pdf

Folhas práticas: folhastsd.pdf

Testes e exames: testestsd.pdf , examestsd.pdf

This work is licensed under a Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported License.

Software

Maxima
GeoGebra (see the tutorial by Elisha Peterson)

Problemas/temas para o trabalho

• Transformação logística
• Conjuntos de Cantor
• Frações contínuas e mapa de Gauss
• Mapas de Anosov
• Homeomorfismos do círculo
• Conjuntos de Julia e Mandelbrot
• Fractais de Newton
• Iterated Function Systems
• Cascata de Feigenbaum
• Transformação do padeiro
• Entropia topológica
• Números normais
• Equidistribuição de Kronecker-Weyl
• Dyadic adding machine
• Pêndulo duplo
• Sistema de Lotka-Volterra
• Sistema de Van der Pol
• Atractor de Lorenz
• Transformação de Henon

Simulações

GeoGebra codes: Logistic.ggb

GeoGebra applets: Logistic.html