Temas propostos
Iterações. Método de Heron. Outros métodos iterativos para resolver equações de grau dois. Iterações de funções racionais, Julia e Fatou.
Números irracionais. Raizes irracionais, teoremas de Pitágoras e Gauss. Irracionaldade de e e de π.
Representação decimal. Representação em base dez e algoritmo da divisão. Representação de irracionais.
Números normais. Endomorfismo expansores da circunferência e deslocamentos de Bernoulli. Números normais, teorema de Borel.
Aproximações racionais de irracionais. Aproximaçãoo diofantina. Princípio das gavetas e teorema de Dirichlet.
Geometria dos números. Teorema do corpo convexo de Minkowski. Geometria dos números. Teorema de Pick.
Números transcendentes. Números algébricos e transcendentes. Teorema de Liouville e decimais transcendentes. Transcendência de e e de π.
Frações contínuas. Frações contínuas simples. Algorítmo de Euclides e mapa de Gauss. Melhores aproximações racionais de números irracionais.
Grupo modular e série de Farey. Equivalência de frações contínuas. Frações contínuas periódicas e irracionais quadrático, teorema de Lagrange. Grupo modular, plano hiperbólico. Série de Farey.
Distribuição uniforme. Rotações da circunferência. Teorema de Kronecker. Critério e teorema de Weyl. Bilhares.
Leis zero-um. Teoria métrica da aproximação diofantina. Teorema de Borel-Bernstein. Lei zero-um de Khinchin.
Mapa de Gauss e ergodicidade. Ergodicidade do mapa de Gauss. Frequência dos dígitos, teorema de Gauss-Kuzmin. Teoremas de Khinchin e Lévy.
Bibliografia
[CR48]
R. Courant and H. Robbins, What is mathematics?, Oxford University Press, 1948.
[HW59]
G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1959.