Análise Complexa e de Fourier
FIS ENGFIS 2021/22

Objetivos de aprendizagem

Aplicar os teoremas fundamentais da análise complexa à resolução de problemas físicos.

Relacionar a noção de derivada de uma função complexa com as condições de Cauchy-Riemann.

Utilizar a técnica de desenvolvimento em séries de Laurent no estudo de singularidades de funções complexas.

Aplicar o método dos resíduos ao cálculo de integrais reais e complexos.

Utilizar transformações conformes para resolução de problemas de contorno em domínios de geometria simples.

Aplicar o método de separação de variáveis e o conceito de expansão de uma função em série de Fourier na resolução das equações do calor, de Laplace e das ondas.

Conteúdos programáticos

Álgebra, geometria e topologia do plano complexo. Derivada complexa, funções holomorfas. Condições de Cauchy-Riemann.

Integrais de contorno. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmulas integrais de Cauchy e consequências. Teorema Fundamental da Álgebra.

Séries de potências, funções analíticas. Séries de Taylor e séries de Laurent.

Singularidades isoladas, cálculo dos resíduos e aplicação ao cálculo de integrais reais.

Aplicações conformes, grupo de Mobius. Funções harmónicas, método das transformações conformes.

Equações diferenciais parciais da física-matemática: ondas, calor e Laplace. Método de separação de variáveis.

Séries de Fourier. Transformada de Fourier. Produto de convolução. Aplicações das séries e da transformada de Fourier às equações diferenciais parciais.

Avaliação assimptótica de integrais. Integrais do tipo Laplace e do tipo Fourier. Método do steepest descent.

Bibliografia

[Ah79] L.V. Ahlfors, Complex Analysis, McGraw-Hill, 1979.

[Ba09] L. Barreira, Análise Complexa e Equações Diferenciais, IST Press, 2009.

[Fo92] G.B. Folland, Fourier analysis and its applications, AMS, 1992.

[La03] S. Lang, Complex Analysis, Springer-Verlag, 2003.

[LC72] M. Laurentiev et B. Chabat, Méthodes de la théorie des fonctions d'une variable complexe, MIR, 1972.

[Ma99] J.E. Marsden, Basic complex analysis, W.H. Freeman, 1999.

[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.

[Ru87] W. Rudin, Real and complex analysis, McGraw-Hill, 1987.

[Sm03a] G. Smirnov, Análise Complexa e Aplicações, Escolar Editora, 2003.

[Sm03b] G. Smirnov, Curso de Análise Linear, Escolar Editora, 2003.

[SS03a] E.M. Stein and R. Shakarchi, Fourier Analysis: An Introduction, Princeton University Press, 2003.

[SS03b] E.M. Stein and R. Shakarchi, Complex Analysis, Princeton University Press, 2003.

Avisos

• Época excecional: 2ª-feira, 14 fevereiro de 2022, 14h-16h, ...
• Recurso: 2ª-feira, 7 fevereiro de 2022, 14h-16h,
  sala: Edifício 2 - 0.05.
• 2º teste: 6ª-feira, 21 janeiro de 2022, 9h-11h,
  sala: Edifício 2 - 1.01.
• 1º teste: 6ª-feira, 3 dezembro de 2021, 14h-16h,
  salas: Edifício 3 - 0.06 (ENGFIS) e Edifício 1 - 2.24 (FIS).
• Horário:
  T: 6ª-feira, 14h-16h, sala 3-0.06.
  TP1: 2ª-feira, 16h-18h, sala 2-2.04.
  TP2: 6ª-feira, 16h-18h, sala 2-1.13.
• Atendimento:
  4ª-feira 14h-16h, gab. CG - Edifício 6 - 3.48.

Material

Informações: infos_acf.pdf

Notas: notas_acf.pdf

Testes e exames: testes_acf.pdf , recurso_acf.pdf

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Dois testes ao longo do semestre e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Calendário estimado dos testes:

• 1º teste: 6ª-feira, 3 dezembro de 2021, 14h-16h.
• 2º teste: 6ª-feira, 21 janeiro de 2022, 9h-11h.

Classificação. A nota final é

N = T onde T= (T₁+ T₂)/2 e T_k é a nota obtida no k-ésimo teste. Os alunos com nota não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (T+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Metodologia de ensino

Aulas teóricas e teórico-práticas. As aulas teóricas desenvolvem-se em torno da exposição escrita e oral dos diversos assuntos constantes do conteúdo programático da unidade curricular, sendo trabalhados exemplos de aplicação. Nas aulas teórico-práticas é proposto aos estudantes a resolução de exercícios em que apliquem e reforcem os conhecimentos adquiridos nas aulas teóricas.
Avaliação periódica, baseada em pelo menos dois elementos intercalares de avaliação, ou avaliação final por exame.