Invertibilidade

Uma matriz $A$ quadradada de ordem $n$ diz-se invertível se existir uma matriz $B$, quadrada de ordem $n$, para a qual

$$AB=BA=I_n.$$

Teorema 2.2.2   Seja $A \in \mathcal{M}_{n}\left( {\mathbb{K}}\right)$. Se existe uma matriz $B \in \mathcal{M}_{n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ tal que $AB=BA=I_n$ então ela é única.

Se $B$ e $B'$ são matrizes quadradas, $n\times n$, para as quais

$$AB=BA=I_n=AB'=B'A$$

então

$$B'=B'I_n=B'(AB)=(B'A)B=I_nB=B.$$

A matriz $B$ do teorema, caso exista, diz-se a inversa de $A$ e representa-se por $A^{-1}$.

Por exemplo, a matriz $S=\left[\begin{array}{cc}1&0 1&0\end{array}\right]$ não é invertível. Por absurdo, suponha que existe $T$, de ordem 2, tal que $ST=I_2=TS$. A matriz $T$ é então da forma $\left[\begin{array}{cc} x&y z&w\end{array}\right]$. Ora $ST=\left[\begin{array}{cc} x &y x&y\end{array}\right]$, que por sua vez iguala $I_2$, implicando por sua vez $x=1$ e $y=0$, juntamente com $x=0$ e $y=1$.

Octave
Considere a matriz real de ordem 2 definida por $A=\left[\begin{array}{cc}1&2 2&3 \end{array}\right]$. Esta matriz é invertível. Mais adiante, forneceremos formas de averiguação da invertibilidade de uma matriz, bem como algoritmos para calcular a inversa. Por enquanto, deixemos o Octave fazer esses cálculos, sem quaisquer justificações:

> A=[1,2;2,3];
> X=inv(A)
X =

  -3   2
   2  -1

Ou seja, $A^{-1}=\left[\begin{array}{cc} -3 & 2\\ 2 & -1\end{array}\right]$. Façamos a verificação de que $AX=XA=I_2$:

> A*X
ans =

  1  0
  0  1

> X*A
ans =

  1  0
  0  1

Uma forma um pouco mais rebuscada é a utilização de um operador boleano para se aferir da veracidade das igualdades. Antes de nos aventurarmos nesse campo, e sem pretender deviarmo-nos do contexto, atribua a $a$ e a $b$ os valores $2$ e $3$, respectivamente:

> a=2;b=3;

Suponha agora que se pretende saber se os quadrados de $a$ e de $b$ são iguais. Em linguagem matemática, tal seria descrito por $a^2=b^2$. Como é óbvio, no Octave tal seria sujeito de dupla significação: o símbolo = refere-se a uma atribuição à variável ou parte de uma proposição? Como vimos anteriormente, = tem sido repetidamente usado como símbolo de atribuição (como por exemplo em a=2); se se pretende considerar = enquanto símbolo de uma proposição, então usa-se ==. O resultado será 1 se a proposição é verdadeira e 0 caso contrário. Por exemplo,

> a^2==b^2
ans = 0
> a^2!=b^2
ans = 1

Usou-se^2.1 != para indicar $\ne$.

Voltemos então ao nosso exemplo com as matrizes. Recorde que se pretende averiguar sobre a igualdade $AX=I_2$. O Octave tem uma função pré-definida que constrói a matriz identidade de ordem $n$: eye(n). Por exemplo, a matriz $I_3$ é obtida com

> eye(3)
ans =

  1  0  0
  0  1  0
  0  0  1

Portanto, a verificação de $AX=I_2$ é feita com:

> A*X==eye(2)
ans =

  1  1
  1  1

A resposta veio em forma de tabela $2\times 2$: cada entrada indica o valor boleano da igualdade componente a componente. Suponha que as matrizes têm ordem suficientemente grande por forma a tornar a detecção de um 0 morosa e sujeita a erros. Uma alternativa será fazer

> all(all(A*X==eye(2)))
ans = 1

Teorema 2.2.3   Dadas duas matrizes $U$ e $V$ de ordem $n$, então $UV$ é invertível e

$$\left(UV \right)^{-1} = V^{-1} U^{-1}.$$

Como

$$\left(UV \right) \left(V^{-1} U^{-1} \right)=U \left(VV^{-1} \right) U^{-1}=UI_n U^{-1}=UU^{-1}=I_n$$

e

$$\left(V^{-1} U^{-1} \right)\left(UV \right)=V^{-1} \left(U^{-1} U\right) V=V^{-1}I_n V=V^{-1}V=I_n,$$

segue que $UV$ é invertível e a sua inversa é $V^{-1} U^{-1}$.

Ou seja, o produto de matrizes invertíveis é de novo uma matriz invertível, e iguala o produto das respectivas inversas por ordem inversa.

Duas matrizes $A$ e $B$, do mesmo tipo, dizem-se equivalentes, e denota-se por $A\sim B$, se existirem matrizes $U,V$ invertíveis para as quais $A=UBV$. Repare que se $A\sim B$ então $B\sim A$, já que se $A=UBV$, com $U,V$ invertíveis, então também $B=U^{-1}AV^{-1}$. Pelo teorema anterior, se $A\sim B$ então $A$ é invertível se e só se $B$ é invertível.

As matrizes $A$ e $B$ são equivalentes por linhas se existir $U$ invertível tal que $A=UB$. É óbvio que se duas matrizes $A$ e $B$ são equivalentes por linhas, então são equivalentes, ou seja, $A\sim B$.

Se uma matriz $U$ for invertível, então a sua transposta $U^T$ também é invertível e $\left(U^T \right)^{-1} = \left(U^{-1} \right) ^T$. A prova é imediata, bastando para tal verificar que $\left(U^{-1} \right) ^T$ satisfaz as condições de inversa, seguindo o resultado pela unicidade.

Segue também pela unicidade da inversa que

$$\left(A^{-1}\right)^{-1}=A,$$

isto é, que a inversa da inversa de uma matriz é a própria matriz.

Octave
Façamos a verificação desta propriedade com a matriz $A=\left[\begin{array}{cc} 1&2 4&3\end{array}\right]$:

> B=A';
> inv(A')==(inv(A))'
ans =

  1  1
  1  1

Vimos, atrás, que o produto de matrizes triangulares inferiores [resp. superiores] é de novo uma matriz triangular inferior [resp. superior]. O que podemos dizer em relação à inversa, caso exista?

Teorema 2.2.4   Uma matriz quadrada triangular inferior [resp. superior] é invertível se e só se tem elementos diagonais não nulos. Neste caso, a sua inversa é de novo triangular inferior [resp. superior].

Antes de efectuarmos a demonstração, vejamos a que se reduz o resultado para matrizes (quadradas) de ordem de 2, triangulares inferiores. Seja, então, $L=\left[\begin{array}{cc} a_{11} &0 a_{21} &a_{22}\end{array}\right]$, que assumimos invertível. Portanto, existem $x,y,z,w\in {\mathbb{K}}$ para os quais $I_2=L\left[\begin{array}{cc} x&y z &w\end{array}\right]$, donde segue, em particular, que $a_{11}x=1$, e portanto $a_{11}\ne 0$ e $x=\frac{1}{a_{11}}$. Assim, como $a_{11}y=0$ e $a_{11}\ne 0$ tem-se que $y=0$. Ou seja, a inversa é triangular inferior. Como $y=0$, o produto da segunda linha de $L$ com a segunda coluna da sua inversa é $a_{22}w$, que iguala $(I)_{22}=1$. Portanto, $a_{22}\ne 0$ e $w=\frac{1}{a_{11}}$. O produto da segunda linha de $L$ com a primeira coluna da sua inversa é $a_{21}\frac{1}{a_{11}}+a_{22}z$, que iguala $(I)_{21}=0$. Ou seja, $z=-\frac{a_{21}}{a_{11}a_{22}}$.

A prova é feita por indução no número de linhas das matrizes quadradas.

Para $n=1$ o resultado é trivial. Assuma, agora, que as matrizes de ordem $n$ triangulares inferiores invertíveis são exactamente aquelas que têm elementos diagonais não nulos. Seja $A=[a_{ij}]$ uma matriz triangular inferior, quadrada de ordem $n+1$. Particione-se a matriz por blocos da forma seguinte:

$$\left[\begin{array}{c\vert c}a_{11} &O \hline b &\widetilde A\end{array}\right],$$

onde $b$ é $n\times 1$, $O$ é $1\times n$ e $\widetilde A$ é $n\times n$ triangular inferior.

Por um lado, se $A$ é invertível então existe $\left[\begin{array}{c\vert c}x &Y \hline Z & W\end{array}\right]$ inversa de $A$, com $x_{1\times 1}, Y_{1\times n},Z_{n\times 1}$, $W_{n\times n}$. Logo $a_{11}x=1$ e portanto $a_{11}\ne 0$ e $x=\frac{1}{a_{11}}$. Assim, como $a_{11}Y=0$ e $a_{11}\ne 0$ tem-se que $Y=0$. O bloco $(2,2)$ do produto é então $\widetilde A W$, que iguala $I_n$. Sabendo que $\left[\begin{array}{c\vert c}x &Y \hline Z & W\end{array}\right]\left[\begin... ...ay}\right]=\left[\begin{array}{c\vert c} 1 &0 \hline 0 &I_n\end{array}\right]$, tem-se que também $W\widetilde A=I_n$, e portanto $\widetilde A$ é invertível, $n\times n$, com $( \widetilde A)^{-1}=W$. Usando a hipótese de indução aplicada a $\widetilde A$, os elementos diagonais de $\widetilde A$, que são os elementos diagonais de $A$ à excepção de $a_{11}$ (que já mostrámos ser não nulo) são não nulos.

Reciprocamente, suponha que os elementos diagonais de $A$ são não nulos, e portanto que os elementos diagonais de $\widetilde A$ são não nulos. A hipótese de indução garante-nos a invertibilidade de $\widetilde A$. Basta verificar que $\left[\begin{array}{c\vert c} \frac{1}{a_{11}} &0 \hline -\frac{1}{a_{11}}\widetilde A^{-1}b &\widetilde A^{-1}\end{array}\right]$ é a inversa de $A$.

Para finalizar esta secção, e como motivação, considere a matriz $V=\left[\begin{array}{cc}0&1 -1&0\end{array}\right]$. Esta matriz é invertível, e $V^{-1}=V^T$ (verifique!). Este tipo de matrizes denominam-se por ortogonais. Mais claramente, uma matriz ortogonal é uma matriz (quadrada) invertível, e cuja inversa iguala a sua transposta. De forma equivalente, uma matriz $A$ invertível diz-se ortogonal se $AA^T=A^TA=I$.

Teorema 2.2.5  

1. A inversa de uma matriz ortogonal é também ela ortogonal.
2. O produto de matrizes ortogonais é de novo uma matriz ortogonal.

$(1)$ Seja $A$ uma matriz ortogononal, ou seja, para a qual a igualdade $A^T=A^{-1}$ é válida. Pretende-se mostrar que $A^{-1}$ é ortogonal; ou seja, que $\left(A^{-1}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^T$. Ora $\left(A^{-1}\right)^T=\left(A^{T}\right)^{-1}=\left(A^{-1}\right)^{-1}$.

$(2)$ Sejam $A,B$ matrizes ortogonais. Em particular são matrizes invertíveis, e logo $AB$ é invertível. Mais,

$$\left( AB \right)^{-1}=B^{-1}A^{-1}=B^TA^T=\left(AB \right)^T.$$

Impõe-se aqui uma breve referência aos erros de arredondamento quando se recorre a um sistema computacional numérico no cálculo matricial. Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{cc}\frac{\sqrt{2}}{2}&\frac{\sqrt{2}}{2}\\ -\frac{\sqrt{2}}{2} &\frac{\sqrt{2}}{2}\end{array}\right]$. A matriz é ortogonal já que $AA^T=A^TA=I_2$. Octave
Definamos a matriz $A$ no Octave:

> A=[sqrt(2)/2 sqrt(2)/2; -sqrt(2)/2 sqrt(2)]
A =

   0.70711   0.70711
  -0.70711   1.41421

Verifique-se se $AA^T=A^TA$:

> all(all(A*A'==A'*A))
ans = 0

A proposição é falsa! Calcule-se, então, $AA^T-A^TA$:

> A*A'-A'*A
ans =

    0.0000e+00   -8.5327e-17
   -8.5327e-17    0.0000e+00

É premente alertar para o facto de erros de arredondamento provocarem afirmações falsas. Teste algo tão simples como

> (sqrt(2))^2==2

A transconjugada de $A$ é a matriz $A^*=\bar{A}^T$. Ou seja, $(A^*)_{ij}=\overline{(A)_{ji}}$. Esta diz-se hermítica (ou hermitiana) se $A^*=A$.

Sejam $A,B$ matrizes complexas de tipo apropriado e $\alpha \in {\mathbb{C}}$. Então

1. $\left(A^* \right) ^*=A$;
2. $\left( A+B \right)^* =A^* + B^*$;
3. $\left( \alpha A \right)^*= \bar \alpha A^*$;
4. $\left(AB \right) ^*=B^* A^*$;
5. $\left(A^n\right)^*= \left(A^* \right) ^n$, para $n \in {\mathbb{N}}$;

A prova destas afirmações é análoga à que apresentámos para a transposta, e fica ao cuidado do leitor.

Uma matriz unitária é uma matriz (quadrada) invertível, e cuja inversa iguala a sua transconjugada. De forma equivalente, uma matriz $A$ invertível diz-se unitária se $AA^*=A^*A=I$.

Teorema 2.2.6  

1. A inversa de uma matriz unitária é também ela unitária.
2. O produto de matrizes unitárias é de novo uma matriz unitária.

Remetemos o leitor ao que foi referido no que respeitou as matrizes ortogonais para poder elaborar uma prova destas afirmações.