Transposição

A transposta de uma matriz $A=\left[a_{ij} \right]\in \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$, é a matriz $A^T = \left[b_{ij} \right]\in \mathcal{M}_{n \times m} \left( {\mathbb{K}}\right)$ cuja entrada $(i,j)$ é $a_{ji}$, para $i=1, \dots , n,j=1, \dots , m$. Ou seja, $(A^T)_{ij}=(A)_{ji}$. A matriz é simétrica se $A^T=A$.

Como exemplo, a transposta da matriz $\left[\begin{array}{cc} 1&2 3&4\end{array}\right]$ é a matriz $\left[\begin{array}{cc} 1&3 2&4\end{array}\right]$, e a matriz $\left[\begin{array}{cc}1 &2 2&3\end{array}\right]$ é uma matriz simétrica.

Repare que a coluna $i$ de $A^T$ é a linha $i$ de $A$, e que uma matriz é simétrica se e só se for quadrada e forem iguais os elementos situados em posições simétricas relativamente à diagonal principal.

A transposição de matrizes goza das seguintes propriedades:

1. $\left(A ^T \right) ^T=A$;
2. $\left( A+B \right)^T=A^T + B^T$;
3. $\left(\alpha A \right) ^T = \alpha A^T$, para $\alpha \in {\mathbb{K}}$;
4. $\left( AB \right) ^T= B^T A^T$;
5. $\left( A^k \right)^T = \left(A ^T \right)^k$, $k\in {\mathbb{N}}$.

A afirmação $(1)$ é válida já que $((A^T)^T)_{ij}=(A^T)_{ji}=(A)_{ij}$.

Para $(2)$, $((A+B)^T)_{ij}=(A+B)_{ji}=(A)_{ji}+(B)_{ji}=(A^T)_{ij}+(B^T)_{ij}$.

Para $(4)$, $((AB)^T)_{ij}=(AB)_{ji}=\sum_k (A)_{jk}(B)_{ki}=\sum_k (B)_{ki}(A)_{jk}=\sum_k (B^T)_{ik}(A^T)_{kj}=(B^TA^T)_{ij}.$

Para $(5)$, a prova é feita por indução no expoente. Para $k=1$ a afirmação é trivialmente válida. Assumamos então que é válida para um certo $k$, e provemos que é válida para $k+1$. Ora $(A^{k+1})^T=(A^kA)^T =_{(4)} A^T(A^k)^T=A^T(A^T)^k=(A^T)^{k+1}$.

Octave
Considere as matrizes $A=\left[\begin{array}{cc}1&2 2&3\end{array}\right],B=\left[\begin{array}{cc}0&1 -1&1\end{array}\right]$. Note que são do mesmo tipo, pelo que a soma está bem definida. Verifica-se a comutatividade destas matrizes para a soma.

> A=[1 2; 2 3]; B=[0 1; -1 1];
> A+B
ans =

  1  3
  1  4

> B+A
ans =

  1  3
  1  4

Façamos o produto de $A$ pelo escalar $2$:

> 2*A
ans =

  2  4
  4  6

Note ainda que o número de colunas de $A$ iguala o número de linhas de $B$, pelo que o produto $AB$ está bem definido.

> A*B
ans =

  -2   3
  -3   5

Verifique que também o produto $BA$ está bem definido. Mas

> B*A
ans =

  2  3
  1  1

$BA\ne AB$, pelo que o produto de matrizes não é, em geral, comutativo.

Considere agora a matriz $C$ cujas colunas são as colunas de $A$ e a terceira coluna é a segunda de $B$:

> C=[A B(:,2)]
C =

  1  2  1
  2  3  1

Como $C$ é uma matriz $2\times 3$, a sua transposta, $C^T$, é do tipo $3\times 2$:

> C'
ans =

  1  2
  2  3
  1  1

> size(C')
ans =

  3  2