Matriz associada a uma transformação linear

Iremos concluir que todas as transformações lineares de ${\mathbb{K}}^n \rightarrow {\mathbb{K}}^m$ podem ser representadas por matrizes do tipo $m \times n$. Como motivação, consideramos alguns exemplos.

Sejam $e_1, e_2, e_3$ elementos da base canónica $B_1$ de ${\mathbb{R}}^3$ e $e_1^*, e_2^*$ os elementos da base canónica $B_1^*$ de ${\mathbb{R}}^2$. Seja ainda $T:{\mathbb{R}}^3\rightarrow {\mathbb{R}}^2$ definida por

$$T(e_1) = a_{11}e_1^*+a_{21}e_2^*$$

$$T(e_2) = a_{12}e_1^*+a_{22}e_2^*$$

$$T(e_3) = a_{13}e_1^*+a_{23}e_2^*.$$

Recorde que a transformação linear está bem definida à custa das imagens dos vectores de uma base.

Se $x=(x_1, x_2, x_3)\in {\mathbb{R}}^3$, então

$$\begin{array}{ccl} T(x)&=&T(x_1e_1+x_2e_2+x_3e_3)=x_1T(e_1)+x... ...begin{array}{c}x_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right]=Ax \end{array}$$

Por outras palavras, a transformação linear definida atrás pode ser representado à custa de uma matriz $A\in {\mathcal{M}_{2\times 3}}\left({\mathbb{R}}\right)$, que tem como colunas as coordenadas em relação a $B_1^*$ das imagens dos vectores $e_i \in {\mathbb{R}}^3, i=1, 2, 3$ por $T$. Desta forma, dizemos que nas condições do exemplo anterior, a matriz $A$ é a representação matricial de $T$ relativamente às bases canónicas de ${\mathbb{R}}^2$ e ${\mathbb{R}}^3$.

Por exemplo, considere a aplicação linear $T$ definida por

$$T(1,0,0) = (4,-1)=4(1,0)-1(0,1)$$

$$T(0,1,0) = (-2,5)=-2(1,0)+5(0,1)$$

$$T(0,0,1) = (3,-2)=3(1,0)-2(0,1)$$

A matriz que representa $T$ em relação às bases canónicas de ${\mathbb{R}}^3$ e ${\mathbb{R}}^2$ é $A=\left[\begin{array}{ccc}4 & -2 & 3\\ -1 & 5 & -2\end{array}\right]$. Para todo $v\in {\mathbb{R}}^3$, $T(v)=Av$.

Repare que os cálculos envolvidos foram simples de efectuar já que usámos as bases canónicas dos espaços vectoriais. Tal não será, certamente, o caso se usarmos outras bases que não as canónicas. Neste caso, teremos que encontrar as coordenadas das imagens dos elementos da base do primeiro espaço vectorial em relação à base fixada previamente do segundo espaço vectorial. Vejamos o exemplo seguinte:

Sejam $\{u_1, u_2, u_3\}$ base $B_2$ de ${\mathbb{R}}^3$ e $\{v_1, v_2\}$ base $B_2^*$ de ${\mathbb{R}}^2$. Se $x\in {\mathbb{R}}^3$, então $x=\xi_1u_1+\xi_2u_2+\xi_3u_3$, e consequentemente

$$T(x)=\xi_1T(u_1)+\xi_2T(u_2)+\xi_3T(u_3).$$

Por outro lado, $T(u_i)\in {\mathbb{R}}^2, i=1, 2, 3$, logo, podemos escrever estes vectores como combinação linear de $v_1$ e $v_2$. Assim,

$$\begin{array}{ccl} T(u_1)&=&b_{11}v_1 +b_{21}v_2 \\ T(u_2)&=... ...2}v_1 +b_{22}v_2 \\ T(u_3)&=&b_{13}v_1 +b_{23}v_2. \end{array}$$

Verificamos, então, que,

$$\begin{array}{ccl} T(x)&=& \xi_1(b_{11}v_1 +b_{21}v_2)+\xi_2(... ..._{22}+\xi_3b_{23}v_2)\\ &=&\alpha_1v_1+\alpha_2v_2 \end{array}$$

onde

$$\left[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{2... ...\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\alpha_1\\ \alpha_2 \end{array}\right]$$

Dizemos, agora, que $B=\left[\begin{array}{ccc}b_{11}&b_{12}&b_{13}\\ b_{21}&b_{22}&b_{23} \end{array}\right]$ é a matriz de $T$ relativamente às bases $B_2$ e $B_2^*$ de ${\mathbb{R}}^3$ e ${\mathbb{R}}^2$, respectivamente.

Passamos de seguida a expôr o caso geral.

Sejam $B_1=\{u_1, u_2, ..., u_n\}$ uma base de $U$, $B_2=\{v_1, v_2, ..., v_n\}$ uma base de $V$, e

$$\begin{array}{ccl} T&:&U\rightarrow V\\ \\ &&x\rightarrow T(x)=\displaystyle\sum_{i=1}^nx_jT(u_i). \end{array}$$

O vector $T(u_j)$ pode ser escrito - de modo único - como combinação linear dos vectores $v_1, v_2, ..., v_m$. Assim

$$T(u_j)=\displaystyle\sum_{i=1}^ma_{ij}\cdot v_i, \ \ \ j=1,...,n.$$

Logo

$T(x)=\displaystyle\sum_{j=1}^nx_j T(u_j)= \displaystyle\sum_{j=1}^n[\displayst... ....+\displaystyle\sum_{j=1}^n[a_{mj}x_j]v_m =\displaystyle\sum_{j=1}^n\varphi v_i$.

Verificamos, assim, que existe entre as coordenadas $(x_1, x_2, ..., x_n)$ de $x$ (relativa à base $B_1$), em $U$, e as coordenadas $(\varphi_1, \varphi_2, ..., \varphi_m)$ de $T(x)$ (relativa à base $B_2$) em $V$. Tal ligação exprime-se pelas seguintes equações

$$\varphi_i=\displaystyle\sum_{j=1}^na_{ij}x_j, \ \ i=1, 2, ..., m.$$

O que se pode ser escrito como a equação matricial seguinte:

$$\left[\begin{array}{cccc}a_{11}&a_{12}&...&a_{1n} \\ a_{21}&a_{22... ...[\begin{array}{c}\varphi_1\\ \varphi_2 \\ \vdots\\ \varphi_m \end{array}\right]$$

Assim, concluímos:

Teorema 6.3.1   Se fixamos uma base de $U$ e uma base de $V$, a aplicação linear $T: U\longrightarrow V$ fica perfeitamente definida por $m \times n$ escalares. Ou seja, a aplicação linear $T: U\longrightarrow V$ fica perfeitamente definida por uma matriz do tipo $m \times n$

$$M_{B_1, B_2}(T)$$

cujas colunas são as coordenadas dos transformados dos vectores da base de $U$, em relação à base de $V$.

Vimos, então, que dada uma transformação linear $G:{\mathbb{K}}^n \rightarrow {\mathbb{K}}^m$, existe uma matriz $A \in \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ tal que $G=T_A$. Mais, se $\{e_1,\dots ,e_n\}$ e $\{f_1,\dots ,f_m\}$ são as bases canónicas, respectivamente, de ${\mathbb{K}}^n$ e ${\mathbb{K}}^m$, então a matriz $A$ é tal que a coluna $i$ de $A$ são as coordenadas de $G(e_i)$ em relação à base $\{f_1,\dots ,f_m\}$. No entanto, se se considerarem bases que não as canónicas, então é preciso ter um pouco mais de trabalho.

Por exemplo, considere^6.1 a base $B_1$ de ${\mathbb{R}}^3$ constituída pelos vectores $(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1)$, e a base $B_2$ de ${\mathbb{R}}^2$ constituída pelos vectores $(2,1),(1,2)$. Vamos calcular a matriz $G$ que representa $T:{\mathbb{R}}^3\rightarrow {\mathbb{R}}^2$, com $T(x,y,z)=(x-y,x+y+z)$, nas bases apresentadas. Em primeiro lugar, calculamos as imagens dos elementos da base escolhida:

$$T(0,1,1) = (-1,2)=v_1$$

$$T(1,1,0) = (0,2)=v_2$$

$$T(1,0,1) = (1,2)=v_3$$

Agora, encontramos as coordenadas de $v_1,v_2,v_3$ relativamente à base de ${\mathbb{R}}^2$ que fixámos. Ou seja, encontramos as soluções dos sistemas possíveis determinados^6.2

$$Ax=v_1, \, Ax=v_2, \, Ax=v_3,$$

onde $A=\left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ 1 & 2\end{array}\right]$. A matriz que representa $T$ em relação às bases apresentadas é $G=\left[\begin{array}{ccc} u_1 & u_2 & u_3\end{array}\right]$, onde $u_1$ é a única solução de $Ax=v_1$, $u_2$ é a única solução de $Ax=v_2$ e $u_3$ é a única solução de $Ax=v_3$.

Octave

> v1=[-1;2]; v2=[0;2]; v3=[1; 2];
> A=[2 1; 1 2];
> x1=A\v1
x1 =

  -1.3333
   1.6667

> x2=A\v2
x2 =

  -0.66667
   1.33333

> x3=A\v3
x3 =

  -1.8952e-16
   1.0000e+00

> G=[x1 x2 x3]
G =

  -1.3333e+00  -6.6667e-01  -1.8952e-16
   1.6667e+00   1.3333e+00   1.0000e+00

Fixadas as bases dos espaços vectoriais envolvidos, a matriz associada à transformação linear $G$ será, doravante, denotada por $[G]$.

Antes de passarmos ao resultado seguinte, consideremos as transformações lineares

$$\begin{array}{llll} H:&{\mathbb{R}}^2 & \rightarrow & {\mathb... ...arrow & {\mathbb{R}}\\ &(r,s,t) & \mapsto & 2r-s+t \end{array}$$

Obtemos, então,

$$G\circ H(x,y) = 2(x-y)-1\cdot y+1\cdot 0$$

$$= \left[\begin{array}{ccc}2&-1&1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x-y\\ y\\ 0\end{array}\right]$$

$$= \left[\begin{array}{ccc}2&-1&1 \end{array}\right]\left[\begin{arr... ...& 1 \\ 0 & 0 \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right]$$

$$= [G][H] \left[\begin{array}{c}x \\ y \end{array}\right]$$

Portanto, $[G\circ H]=[G][H]$.

Vejamos o que podemos afirmar em geral:

Teorema 6.3.2   Sejam $U,V,W$ espaços vectoriais sobre ${\mathbb{K}}$ e $H:U\rightarrow V$, $G:V\rightarrow W$ duas transformações lineares. Então

1. $G\circ H$ é uma transformação linear;
2. $G\circ H=T_{\left[G \right]\left[H \right]}$ e $\left[G \circ H \right]= \left[G \right]\left[H \right]$.

A demonstração de (1) fica como exercício. Para mostrar (2), observe-se que, para qualquer $u\in U$,

$$G\circ H(u)=G(H(u))=G([H]u)=[G][H]u=T_{[G][H]} u.$$

Fechamos, assim, como iniciámos: a algebrização do conjunto das matrizes. As matrizes não são mais do que representantes de um certo tipo de funções (as transformações lineares) entre conjuntos muitos especiais (espaços vectoriais). Se a soma de matrizes corresponde à soma de tranformações lineares (em que a soma de funções está definida como a função definida pela soma das imagens), o produto de matrizes foi apresentado como uma operação bem mais complicada de efectuar. No entanto, a forma como o produto matricial foi definido corresponde à composição das transformações lineares definidas pelas matrizes.

Este último capítulo explica, ainda, a razão pela qual não demos ênfase a espaços vectoriais reais de dimensão finita que não os da forma ${\mathbb{R}}^n$. Mostrámos que todo o espaço vectorial finitamente gerado (ou seja, que tenha uma base com um número finito de elementos) é isomorfo a algum ${\mathbb{R}}^n$. Já os não finitamente gerados pertencem a outra divisão: são bem mais difíceis de estudar, mas em compensação têm aplicações fantásticas, como o processamento digital de imagem.

Como epílogo, deixamos a seguinte mensagem: a parte interessante da matemática só agora está a começar!