Propriedades das transformações lineares

Proposição 6.2.1   Sejam $V,W$ espaços vectoriais sobre ${\mathbb{K}}$ e $T$: $V \rightarrow W$ uma transformação linear. Então

1. $T(0_v)=0_w$ para $0_v \in V, \ 0_w \in W$;
2. $T(-v)=-T(v), \forall v\in V$;
3. $T(\displaystyle\sum_{i=0}^n\alpha_iv_i)=\displaystyle\sum_{i=1}^n\alpha_iT(v_i),\ v_i\in V, \ \alpha_i\in {\mathbb{K}}$;
4. Se $v_1, v_2, ..., v_n$ são vectores de $V$ linearmente dependentes, então $T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)$ são vectores de $W$ linearmente dependentes.

As afirmações 1-3 seguem da definição de transformação linear. Mostremos (4).

Se $v_1, v_2, ..., v_n$ são vectores de $V$ linearmente dependentes então um deles, digamos $v_k$, escreve-se como combinação linear dos restantes:

$$v_k=\sum_{i=0,i\ne k}^n\alpha_iv_i.$$

Aplicando $T$ a ambos os membros da equação,

$$T(v_k)=T\left(\sum_{i=0,i\ne k}^n\alpha_iv_i\right)=\sum_{i=1,i\ne k}^n\alpha_iT(v_i),$$

e portanto $T(v_k)$ escreve-se como combinação linear de $T(v_1), T(v_2), T(v_{k-1}),\dots ,T(v_{k+1})$, $\dots, T(v_n)$. Segue que $T(v_1), T(v_2), \dots, T(v_n)$ são vectores de $W$ linearmente dependentes.

Em geral, uma transformação não preserva a independência linear. Por exemplo, a transformação linear

$$\begin{array}{cccc}&{\mathbb{R}}^2&\longrightarrow&{\mathbb{R}}^2\\ T:&(x, y)&\longrightarrow&(0, y).\end{array}$$

As imagens da base canónica de ${\mathbb{R}}^2$ não são linearmente independentes.

Recordamos que, apesar de indicarmos uma base como um conjunto de vectores, é importante a ordem pela qual estes são apresentados. Ou seja, uma base é um n-uplo de vectores. Por forma a não ser confundida por um n-uplo com entradas reais, optámos por indicar uma base como um conjunto. É preciso enfatizar esta incorrecção (propositadamente) cometida.

Teorema 6.2.2   Sejam $V,W$ espaços vectoriais, $\{v_1,\dots,v_n \}$ uma base de $V$ e $w_1,\dots, w_n \in W$ não necessariamente distintos. Então existe uma única transformação linear $T:V \rightarrow W$ tal que

$$T(v_1)=w_1,T(v_2)=w_2,\dots, T(v_n)=w_n.$$

Se $\{v_1,\dots,v_n \}$ é uma base de $V$, então todo o elemento de $v$ escreve-se de forma única como combinação linear de $v_1 , \dots , v_n$. Isto é, para qualquer $v\in V$, existem $\alpha_i \in {\mathbb{K}}$ tais que

$$v=\sum_{i=1}^n \alpha_i v_i.$$

Seja $T:V \rightarrow W$ definida por

$$T\l (\sum_i \alpha_i v_i\r)= \sum_i \alpha_i w_i.$$

Obviamente, $T(v_i)=w_i$. Observe-se que $T$ é de facto uma aplicação pela unicidade dos coeficientes da combinação linear relativamente à base. Mostre-se que $T$ assim definida é linear. Para $\alpha \in {\mathbb{K}}$, $u=\sum_i \beta_i v_i$ e $w=\sum_i \gamma_i v_i$,

$$T(u+w) = T\l ( \sum_i \beta_i v_i + \sum_i \gamma_i v_i \r)$$

$$= T\l ( \sum_i \l ( \beta_i + \gamma_i \r) v_i \r)$$

$$= \sum_i \l (\beta_i + \gamma_i \r) w_i$$

$$= \sum_i \beta_i w_i + \sum_i \gamma_i w_i$$

$$= T(u)+ T(w)$$

e

$$T(\alpha u ) = T(\alpha \sum_i \beta_i v_i )$$

$$= T(\sum_i \alpha \beta_i v_i )$$

$$= \sum_i \alpha \beta_i w_i$$

$$= \alpha \sum_i \beta_i w_i = \alpha T(u).$$

Portanto, $T$ assim definida é linear.

Mostre-se, agora, a unicidade. Suponhamos que $T'$ é uma aplicação linear que satisfaz $T'(v_i)=w_i$, para todo o $i$ no conjunto dos índices. Seja $v\in V$, com $v=\sum_i \alpha_i v_i$. Então

$$T'(v) = T\l (\sum_i \alpha_i v_i \r)$$

$$= \sum_i T'(v_i)$$

$$= \sum_i \alpha_i w_i$$

$$= \sum_i \alpha_i T(v_i)$$

$$= T\l (\sum_i \alpha_i v_i \r) = T(v).$$

Portanto, $T=T'$.

Teorema 6.2.3   Todo o espaço vectorial de dimensão $n$ sobre o corpo ${\mathbb{K}}$ é isomorfo a ${\mathbb{K}}^n$.

Seja $\{v_1, v_2, ..., v_n\}$ uma base de $V$ e $v$ um vector qualquer de $V$. Então $v=\alpha_1v_1+\alpha_2v_2+...+\alpha_nv_n, \ \alpha_i\in {\mathbb{K}}$. Vamos definir uma transformação $T$,

$$\begin{array}{cccc}&V&\longrightarrow&{\mathbb{K}}^n\\ T:&v&\longrightarrow&(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)\end{array}.$$

Pretendemos mostrar que esta aplicação é um isomorfismo de espaços vectoriais.

(a) A aplicação $T$ é bijectiva.

Primeiro, verificamos que $T$ é injectiva, i.e., que

$$T(u)=T(v)\Longrightarrow u=v, \ \forall \ u, v \in V.$$

Ora,

$$\begin{array}{ccl}T(u)=T(v)&\Longleftrightarrow&T(\displaysty... ...\sum_{i=1}^n\beta_iv_i \\ &\Longleftrightarrow&u=v. \end{array}$$

Mostramos, agora, que $T$ é sobrejectiva, i.e., que

$$\forall x\in {\mathbb{K}}^n, \exists w\in V: f(w)=x.$$

Temos sucessivamente,

$f \,$    é sobrejectiva $\Longleftrightarrow\forall x\in {\mathbb{K}}^n, \exists w\in V: f(w)=x \Longle... ...T(\delta_1v_1+\delta_2v_2+...+\delta_nv_n)=(\delta_1, \delta_2, ..., \delta_n).$

(b) A aplicação $T$ é linear.

$$T(u+v) = T(\alpha_1v_1+ \alpha_2v_2+ ...+ \alpha_nv_n+\beta_1v_1+ \beta_2v_2+ ...+ \beta_nv_n)$$

$$= T[(\alpha_1+\beta_1)v_1+ (\alpha_2+\beta_2)v_2+ ...+ (\alpha_n+\beta_n)v_n]$$

$$= (\alpha_1+\beta_1, \alpha_2+\beta_2, ... , \alpha_n+\beta_n)$$

$$= (\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)+(\beta_1, \beta_2, ..., \beta_n)$$

$$= T(\alpha_1v_1+ \alpha_2v_2+ ...+ \alpha_nv_n)+T(\beta_1v_1+ \beta_2v_2+ ...+ \beta_nv_n)$$

$$= T(u)+T(v)$$

e

$$T(\alpha u ) = T\left(\alpha(\alpha_1v_1+ \alpha_2v_2+ ...+ \alpha_nv_n)\right)$$

$$= T\left((\alpha\alpha_1)v_1+ (\alpha\alpha_2)v_2+ ...+ (\alpha\alpha_n)v_n\right)$$

$$= (\alpha\alpha_1, \alpha\alpha_2, ..., \alpha\alpha_n)$$

$$= \alpha(\alpha_1, \alpha_2, ..., \alpha_n)$$

$$= \alpha T(\alpha_1v_1+ \alpha_2v_2+ ...+\alpha_nv_n)$$

$$= \alpha T(u)$$

Corolário 6.2.4   Sejam $U$ e $V$ dois espaços vectoriais sobre mesmo corpo ${\mathbb{K}}$. Se $U$ e $V$ têm a mesma dimensão, então $U$ e $V$ são isomorfos.

Por exemplo, o espaço vectorial $\mathcal{M}_{2\times 3} \left( {\mathbb{R}}\right)$ é isomorfo a ${\mathbb{R}}^6$. De facto, considerando a base de $\mathcal{M}_{2\times 3} \left( {\mathbb{R}}\right)$

$$\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\end{array}\right] \... ...rray}\right], \left[\begin{array}{ccc}0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1\end{array}\right],$$

as coordenadas de $\left[\begin{array}{ccc}a & b&c\\ d & e & f\end{array}\right]$ é o vector $(a,b,c,d,e,f)$. Definindo a aplicação $T:\mathcal{M}_{2\times 3} \left( {\mathbb{R}}\right)\rightarrow {\mathbb{R}}^6$ definida por $T\left(\left[\begin{array}{ccc}a & b&c\\ d & e & f\end{array}\right]\right)=(a,b,c,d,e,f)$, é linear e é bijectiva. Logo, $\mathcal{M}_{2\times 3} \left( {\mathbb{R}}\right)\cong {\mathbb{R}}^6$.

Da mesma forma, o espaço vectorial ${\mathbb{R}}_2[x]$ dos polinómios de grau não superior a 2, juntamente com o polinómio nulo, é isomorfo a ${\mathbb{R}}^3$. Fixando a base de ${\mathbb{R}}_2[x]$ constituída pelos polinómios $p,q,r$ definidos por $p(x)=1,q(x)=x,r(x)=x^2$ e a base canónica de ${\mathbb{R}}^3$ a transformação linear que aplica $p$ em $(1,0,0)$, $q$ em $(0,1,0)$ e $r$ em $(0,0,1)$ é um isomorfismo de ${\mathbb{R}}_2[x]$ em ${\mathbb{R}}^3$.

Pelo exposto acima, é fácil agora aceitar que $\mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{R}}\right)\cong {\mathbb{R}}^{mn}$ ou que ${\mathbb{R}}_n[x]\cong {\mathbb{R}}^{n+1}$.

Para finalizar esta secção, note que ${\mathbb{C}}$, enquanto espaço vectorial sobre ${\mathbb{R}}$, é isomorfo a ${\mathbb{R}}^2$. De facto, $1$ e $i$ formam uma base de ${\mathbb{C}}$, enquanto espaço vectorial sobre ${\mathbb{R}}$. São linearmente independentes ($a+bi=0$ força $a=b=0$) e todo o complexo $z$ escreve-se como $a+bi$, com $a,b\in {\mathbb{R}}$. O isomorfismo pode ser dado pela transformação linear que aplica $1$ em $(1,0)$ e $i$ em $(0,1)$.