Bases de espaços vectoriais finitamente gerados

Definição 4.3.1   Seja $V$ um espaço vectorial. Um conjunto $\mathcal{B}$ linearmente independente tal que $\langle \mathcal{B}\rangle =V$ é chamado de base de $V$.

A demonstração do resultado que se segue envolve, no caso geral, diversos conceitos matemáticos (nomeadamente o Lema de Zorn) que ultrapassam em muito os propósitos desta disciplina. No entanto, o resultado garante, para qualquer espaço vectorial, a existência de um conjunto linearmente independente $\mathcal{B}$ que gere o espaço vectorial.

Teorema 4.3.2   Todo o espaço vectorial tem uma base.

Dizemos que $V$ tem dimensão finita, ou que é finitamente gerado, se tiver uma base com um número finito de elementos. Caso contrário, diz-se que $V$ tem dimensão infinita.

$V$ tem dimensão finita nula se $V=\{0\}$.

De ora em diante, apenas consideraremos espaços vectoriais finitamente gerados. Por vezes faremos referência à base $v_1 , v_2, \dots ,v_n$ para indicar que estamos a considerar a base $\left\{ v_1 ,v_2, \dots ,v_n \right\}$.

Definição 4.3.3   Uma base ordenada $\mathcal{B}=\left\{v_1,\dots ,v_m \right\}$ é uma base de $V$ cujos elementos estão dispostos por uma ordem fixa^4.1. Chamam-se componentes ou coordenadas de $u\in V$ na base $\left\{v_1,\dots ,v_m \right\}$ aos coeficientes escalares $\alpha_1,\dots,\alpha_m$ da combinação linear

$$u=\sum_{k=1}^m \alpha_k v_k.$$

As coordenadas de $u$ na base $\mathcal{B}$ são denotadas^4.2 por

$$\left( u\right)_\mathcal{B}=\left[\begin{array}{c} \alpha_1 \alpha_2 \vdots \alpha_n\end{array}\right].$$

Recordemos que, se $\mathcal{B}=\left\{v_1,\dots ,v_m \right\}$ é uma base de $V$, em particular são linearmente independentes, e portanto dado $v\in V$, os coeficientes de $v$ na base $\mathcal{B}$ são únicos.

Teorema 4.3.4   Se um espaço vectorial tem uma base com um número finito $n$ de elementos, então todas as bases de $V$ têm $n$ elementos.

Seja $V$ um espaço vectorial e $v_1 , \dots , v_n$ uma base de $V$. Seja $w_1,\dots, w_m$ outra base de $V$ com $m$ elementos.

Como $v_1 , \dots , v_n$ é base de $V$, existem $\alpha_{ji}\in {\mathbb{K}}$ para os quais

$$w_i=\sum_{j=1}^n\alpha_{ji}v_j.$$

Note-se que

$$\sum_{i=1}^mx_iw_i=0 \Leftrightarrow \sum_{i=1}^m x_i\sum_{j=1}^n\alpha_{ji}v_j=0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^nx_i\alpha_{ji}v_j=0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{j=1}^n \left( \sum_{i=1}^m x_i\alpha_{ji} \right) v_j=0$$

$$\Leftrightarrow \sum_{i=1}^m x_i\alpha_{ji} =0, j$$

$$\Leftrightarrow \left[\begin{array}{c} \alpha_{ji} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1 \vdots x_m \end{array}\right]= 0$$

e que

$$\sum_{i=1}^mx_iw_i=0 \Leftrightarrow x_1=x_2=\cdots =x_m =0.$$

Portanto,

$$\left[\begin{array}{c} \alpha_{ji} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x_1 \vdots x_m \end{array}\right]= 0$$

é um sistema determinado, pelo que

$$m = \mathrm{car}\left( \left[\begin{array}{c} \alpha_{ji} \end{array}\right]\right) \le n.$$

Trocando os papéis de $\langle v_1 ,\dots, v_n \rangle$ e de $\langle w_1 ,\dots, w_m \rangle$, obtemos $n \le m$. Logo, $n=m$.

Definição 4.3.5   Seja $V$ um espaço vectorial. Se existir uma base de $V$ com $n$ elementos, então diz-se que $V$ tem dimensão $n$, e escreve-se $\dim V = n$.

Corolário 4.3.6   Seja $V$ um espaço vectorial com $\dim V = n$. Para $m>n$, qualquer conjunto de $m$ elementos de $V$ é linearmente dependente.

A demonstração segue a do teorema anterior.

Considerando o espaço vectorial ${\mathbb{K}}_n[x]$ dos polinómios com coeficientes em ${\mathbb{K}}$ e grau não superior a $n$, uma base de ${\mathbb{K}}_n[x]$ é

$$\mathcal{B}=\left\{1,x,x^2,\dots,x^n \right\}.$$

De facto, qualquer polinómio de ${\mathbb{K}}_n[x]$ tem uma representação única na forma $a_nx^n+\cdots + a_1x + a_0$ e portanto $B$ gera ${\mathbb{K}}_n[x]$, e $\mathcal{B}$ é linearmente independente. Logo, $\dim {\mathbb{K}}_n[x]=n+1$. Como exercício, mostre que

$$\mathcal{B}'=\left\{1,x+k,(x+k)^2,\dots,(x+k)^n \right\},$$

para um $k\in {\mathbb{K}}$ fixo, é outra base de ${\mathbb{K}}_n[x]$.

Considere agora o conjunto $\left\{\Delta_{ij}:1\le i\le m,1\le j \le n \right\}$, onde $\Delta_{ij}$ é a matriz $m \times n$ com as entradas todas nulas à excepção de $(i,j)$ que vale 1. Este conjunto é uma base do espaço vectorial $\mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ das matrizes $m \times n$ sobre ${\mathbb{R}}$, pelo que $\dim \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{R}}\right)=mn$.

Teorema 4.3.7   Seja $V$ um espaço vectorial com $\dim V = n$.

1. Se $v_1 , \dots , v_n$ são linearmente independentes em $V$, então $v_1 , \dots , v_n$ formam uma base de $V$.
2. Se $\langle v_1,\dots,v_n \rangle=V$, então $v_1 , \dots , v_n$ formam uma base de $V$.

(1) Basta mostrar que $\langle v_1,\dots,v_n \rangle=V$. Suponhamos, por absurdo, que $v_1 , \dots , v_n$ são linearmente independentes, e que $\langle v_1,\dots,v_n \rangle \subsetneq V$. Ou seja, existe $0 \ne w \in V$ para o qual $w \notin \langle v_1,\dots,v_n \rangle=V$. Logo, $v_1,\dots,v_n,w$, são linearmente independentes, pelo que em $V$ existem $n+1$ elementos linearmente independentes, o que contradiz o corolário anterior.
(2) Basta mostrar que $v_1 , \dots , v_n$ são linearmente independentes. Suponhamos que $v_1 , \dots , v_n$ são linearmente dependentes e que $A=\left\{ v_1,\dots,v_n\right\}$. Então pelo menos um deles é combinação linear dos outros. Ou seja, existe $v_k$ tal que $v_k \in \langle v_1,\dots,v_{k-1},v_{k+1},\dots,v_n \rangle$. Se $v_1,\dots,v_{k-1},v_{k+1},\dots,v_n$ não forem linearmente independentes, então repetimos o processo até obtermos $B\subsetneq A$ linearmente independente. Vamos mostrar que $\langle B \rangle = \langle A \rangle$, recordando que $\langle A \rangle =V$. Seja $C=A\setminus B$; isto é, $C$ é o conjunto dos elementos que se retiraram a $A$ de forma a obter o conjunto linearmente independente $B$. Portanto,

$$v_i\in C \Rightarrow v_i=\sum_{v_j \in B} \beta_{ij} v_j.$$

Seja então $v\in V=\langle A \rangle$. Ou seja, existem $\alpha_i$'s para os quais

$$v = \sum_{v_i \in A } \alpha_i v_i$$

$$= \sum_{v_i \in B} \alpha_i v_i +\sum_{v_i \in C} \alpha_i v_i$$

$$= \sum_{v_i \in B} \alpha_i v_i +\sum_{i} \alpha_i \sum_{v_j \in B} \beta_{ij} v_j$$

$$= \sum_{v_i \in B} \alpha_i v_i +\sum_{i} \sum_{v_j \in B}\alpha_i \beta_{ij} v_j\in \langle B \rangle.$$

Portanto, $B$ é uma base de $V$ com $m<n$ elementos, o que é absurdo.

Corolário 4.3.8   Sejam $V$ um espaço vectorial e $W_1,W_2$ subespaços vectoriais de $V$. Se $W_1 \subseteq W_2$ e $\dim W_1= \dim W_2$ então $W_1=W_2$

Se $W_1 \subseteq W_2$ e ambos são subespaços de $V$ então $W_1$ é subespaço de $W_2$. Seja $\mathcal{B}=\left\{w_1, \dots, w_r\right\}$ uma base de $W_1$, com $r=\dim W_1$. Segue que $\mathcal{B}$ é linearmente independente em $W_2$. Como $r=\dim W_1=\dim W_2$, temos um conjunto linearmente inpedente com $r$ elementos. Por (1) do teorema, $\mathcal{B}$ é base de $W_2$, o portanto $W_1=\langle \mathcal{B}\rangle =W_2$.

Corolário 4.3.9   Seja $V$ um espaço vectorial e $A$ um conjunto tal que $\langle A \rangle =V$. Então existe $B\subseteq A$ tal que $B$ é base de $V$.

A demonstração segue o mesmo raciocínio da demonstração de (2) do teorema anterior.