Independência linear

Sejam $V$ um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$ e $\left\{v_i\right\}_{i\in I} \subseteq V, \left\{\alpha_i \right\}_{i\in I} \subseteq {\mathbb{K}}$. Se

$$v= \sum_{i=1}^n \alpha_i v_i ,$$

diz-se que $v$ é uma combinação linear dos vectores $v_1 , \dots , v_n$. Neste caso, dizemos que $v$ se pode escrever como combinação linear de $v_1 , \dots , v_n$.

Definição 4.2.1 (Conjunto linearmente independente)   Um conjunto não vazio $\{v_i \}_{i\in I} \subseteq V$ diz-se linearmente independente se

$$\sum_{i\in I} \alpha_i v_i =0 \Longrightarrow \alpha_1=\alpha_2 = \dots = \alpha_n =0.$$

Um conjunto diz-se linearmente dependente se não for linearmente independente.

Por abuso de linguagem, tomaremos, em algumas ocasiões, vectores linearmente independentes para significar que o conjunto formado por esses vectores é linearmente independente.

O conceito de dependência e independência linear é usualmente usado de duas formas.

(i)

Dado um conjunto não vazio $\{v_i\}$ de $n$ vectores linearmente dependentes, então é possível escrever o vector nulo como combinação linear não trivial de $v_1 , \dots , v_n$. Ou seja, existem escalares $\alpha_1 , \dots, \alpha_n$, algum ou alguns dos quais não nulos, tais que

$$0= \sum_{i=n}^n \alpha_i v_i.$$

Seja $\alpha _k$ um coeficiente não nulo dessa combinação linear. Então

$$v_k = \sum_{i=1,i \ne k}^{n} \left( -\alpha_k ^{-1} \alpha_i \right) v_i.$$

Concluindo, dado um conjunto de vectores linearmente dependentes, então pelo menos um desses vectores é uma combinação linear (não trivial) dos outros vectores.

(ii)

Dado um conjunto não vazio $\{v_i\}$ de $n$ vectores linearmente independentes, da relação

$$0=\sum_{i=n}^n \alpha_i v_i$$

podemos concluir de forma imediata e óbvia que $\alpha_1 = \dots = \alpha_n =0$. Esta implicação será muito útil ao longo desta disciplina.

Algumas observações:

1. Considerando o espaço vectorial ${\mathbb{K}}\left[x \right]$, o conjunto dos monómios $\{1,x, x^2, \dots\}$ é constituído por elementos linearmente independentes. Já $1, x, x^2, x^2 + x + 1$ são linearmente dependentes, visto
   $$1+x+x^2- \left( x^2+x+1\right) =0.$$

2. Em ${\mathbb{K}}_n \left[x \right]$, quaisquer $n+1$ polinómios são linearmente dependentes.
3. Em ${\mathbb{R}}^3$, consideremos os vectores $\alpha=(1,1,0),\beta=(1,0,1),\gamma=(0,1,1), \delta=(1,1,1)$. Estes quatro vectores são linearmente dependentes (pois $\alpha + \beta + \gamma -2\delta =0$), apesar de quaisquer três deles serem linearmente independentes.

Teorema 4.2.2   Sejam $v_1 , \dots , v_n$ elementos linearmente independentes de um espaço vectorial $V$. Sejam ainda $\alpha_1,\dots, \alpha_n,\beta_1,\dots, \beta_n \in {\mathbb{K}}$ tais que

$$\alpha_1 v_1+ \cdots + \alpha_nv_n=\beta_1 v_1+ \cdots + \beta_n v_n.$$

Então $\alpha_i=\beta_i$, para todo $i=1, \dots, n$.

Se $\alpha_1 v_1+ \cdots + \alpha_nv_n=\beta_1 v_1+ \cdots + \beta_n v_n$ então

$$\left( \alpha_1-\beta_1\right) v_1+ \cdots + \left( \alpha_n-\beta_n\right) v_n=0,$$

pelo que, usando o facto de $v_1 , \dots , v_n$ serem linearmente independentes, se tem $\alpha_i-\beta_i=0$, para todo $i=1, \dots, n$.

O resultado anterior mostra a unicidade da escrita de um vector como combinação linear de elementos de um conjunto linearmente independente, caso essa combinação linear exista.

Teorema 4.2.3   Seja $A$ um subconjunto não vazio de um espaço vectorial $V$ sobre ${\mathbb{K}}$. Então o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de $A$ é um subespaço vectorial de $V$.

Seja $A'$ o conjunto de todas as combinações lineares de elementos de $A$. $A'$ é obviamente não vazio visto $A \ne \emptyset$. Sejam $u,v \in A'$. Ou seja,

$$u=\sum_{i\in I} \alpha_i a_i , v= \sum_{j\in J} \beta_j a_j,$$

para alguns $\alpha_i, \beta_j \in {\mathbb{K}}$, com $a_i \in A$. Note-se que

$$u+v = \sum_{i\in I} \alpha_i a_i + \sum_{j\in J} \beta_j a_j$$

e portanto $u+v$ é assim uma combinação linear de elementos de $A$ - logo, $u+v \in A'$. Para $\kappa \in {\mathbb{K}}$, temos que $\kappa u = \sum_{i\in I}^n \kappa \alpha_i a_i$ e portanto $\kappa u \in A'$.

Tendo em conta o teorema anterior, podemos designar o conjunto das combinações lineares dos elementos de $A$ como o espaço gerado por $A$. Este espaço vectorial (subespaço de $V$) denota-se por $\langle A \rangle$.

Quando o conjunto $A$ está apresentado em extensão, então não escrevemos as chavetas ao denotarmos o espaço gerado por esse conjunto. Por exemplo, se $A=\{ v_1,v_2, v_3 \}$, então $\langle A \rangle$ pode-se escrever como $\langle v_1, v_2 ,v_3 \rangle$. Por notação, $\langle \emptyset \rangle = \{ 0 \}$.

É importante referir os resultados que se seguem, onde $V$ indica um espaço vectorial.

1. Os vectores não nulos $v_1,v_2,\dots ,v_n\in V$ são linearmente independentes se e só se, para cada $k$, $v_k \not\in \langle v_1, \dots ,v_{k-1},v_{k+1},\dots,v_n \rangle$.
2. Sejam $A,B \subseteq V$.
   1. Se $A \subseteq B$ então $\langle A \rangle \subseteq \langle B \rangle$.
   2. $\langle A \rangle = \langle \langle A \rangle \rangle$.
   3. $\langle A \rangle$ é o menor (para a relação de ordem $\subseteq$) subespaço de $V$ que contém $A$.