Tópicos de Sistemas Dinâmicos
MAT 2020/21

Objectivos

Pretende-se que o aluno identifique as principais características do comportamento de um sistema dinâmico e analise a sua estabilidade.

Programa sucinto

Iteração e transformações, fluxos. Órbitas periódicas, natureza e estabilidade. Bifurcações, cascata de Feigenbaum. Conjuntos invariantes e atractores. Fractais. Introdução à dinâmica topológica. Recorrências, sistemas caóticos. Transformações expansoras. Transformações hiperbólicas. Dinâmica simbólica. Dinâmica complexa (conjuntos de Julia e de Mandelbrot). Entropia. Introdução à teoria ergódica.

Resultados de aprendizagem

• Descrever as nocções básicas no estudo qualitativo das transformações.
• Dominar as técnicas de análise local das órbitas.
• Compreender as principais classes de transformações caóticas.
• Trabalhar exemplos de dinâmica em dimensão baixa.
• Aplicar os conceitos e as técnicas ao estudo de exemplos.

Programa

Crescimento e decaimento. Sucessão de Fibonacci. Progressão e série geométrica. Modelo exponencial.

Iteração e modelos discretos. Transformações. Análise gráfica (cobweb plot). Transformação logística. Equações às diferenças finitas, polinómio caraterístico.

Fluxos e simulações. Equações diferenciais ordinárias. Equações autónomas, fluxos. Equações lineares. Simulações.

Sistemas dinâmicos topológicos. Trajetórias, órbitas, estados estacionários, órbitas periódicas. Órbitas periódicas, observáveis, conjuntos invariantes.

Números e dinâmica. Representação decimal. Rotações da circunferência. Multiplicação por d. Deslocamentos de Bernoulli. Frações contínuas.

Órbitas regulares e perturbações. Teoremas do ponto fixo. Bacia de atração. Princípio das contrações. Método de Heron.

Linearização. Natureza e estabilidade dos pontos fixos. Método de Newton.

Persistência e bifurcações. Cascata de Feigenbaum.

Recorrências. Conjuntos limite. Pontos recorrentes. Conjunto não-errante. Teorema de recorrência de Poincaré.

Transitividade e órbitas densas. Transformações transitivas. Conjuntos e transformações minimais. Teorema de Kronecker.

Perda de memória e independência assimptótica. Dependência sensível das condições iniciais. Transformações misturadoras. Transformação tenda. Transformações expansoras.

Dinâmica simbólica. Deslocamentos de Bernoulli. Conjunto de Cantor. Cadeias de Markov topológicas. Conjuntos invariantes, atratores.

Dinâmica complexa. Interação de polinómios e funções racionais. Conjuntos de Julia e de Mandelbrot.

Entropia. Entropia topológica. Crescimento das órbitas periódicas. Função zeta.

Introdução à teoria ergódica. Medidas invariantes. Médias temporais, teorema di Birkhoff. Ergodicidade. Distribuição uniforme e teorema de Weyl.

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação.: 2 testes ao longo do semestre.

Calendário estimado dos testes.
Teste 1: 15 de abril de 2021
Teste 2: 17 de junho de 2021

Classificação. A nota final é N = (T₁+ T₂)/2, onde T_k é a nota obtidas no k-ésimo teste.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é N = E, onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N=(E+O)/2, onde O é a nota obtida na prova oral.

Avisos

• Época especial: 3ª-feira, 20 de julho de 2021, 11h30-13h30, sala CG - Edifício 1 - 2.08.
• Recurso: 2ª-feira, 14 de junho de 2021, 17h-19h, sala CG - Edifício 1 - 2.09.
• Segundo teste: 2ª-feira, 24 de maio de 2021, 16h-18h, sala CG - Edifício 1 - 2.11.
• Primeiro teste: 5ª-feira, 15 de abril de 2021, 11h-13h, remoto.
• Atendimento:
  presencial: 4ª-feira 14h-16h, gab. CG - Edifício 6 - 3.48.
  remoto: por marcação, na sala do curso da BB.
• Horário:
  T: 3ª-feira, 14h-15h, remota.
  TP: 5ª-feira, 11h-13h, sala CG - Edifício 1 - 2.11.
  T: 6ª-feira, 11h-12h, remota.

Material

Informações: infos_tsd.pdf

Lecture notes: lecture_notes_tsd.pdf

Folhas práticas: folhas_tsd.pdf (2017/18)

Testes e exames:

Simulações

PYTHON codes: Fibonacci.py , Cobweb_plot.py

MATLAB codes: Cobweb_plot.m, ODEsecond.m, harmonicoscillator.m, lotkavolterra.m, circle_billard.m, mobius.m, circle.m, mobius_on_circle.m, loxodromic_circles.m

Bibliografia

[Ar85] V.I. Arnold, Equações diferenciais ordinárias, MIR 1985.

[Ar87] V.I. Arnold, Métodos matemáticos da mecânica clássica, MIR 1987.

[Co19] S. Cosentino, Fundamentals of Dynamical Systems, DMA - Publicações pedagógicas, RepositoriUM, 2019.

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[HK03] B. Hasselblatt and A. Katok, A first course in dynamics: with a panorama of recent developments, Cambridge University Press 2003.

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