Tópicos de Sistemas Dinâmicos
MAT 2019/20

Objectivos

Pretende-se que o aluno identifique as principais características do comportamento de um sistema dinâmico e analise a sua estabilidade.

Programa sucinto

Iteração e transformações, fluxos. Órbitas periódicas, natureza e estabilidade. Bifurcações, cascata de Feigenbaum. Conjuntos invariantes e atractores. Fractais. Introdução à dinâmica topológica. Recorrências, sistemas caóticos. Transformações expansoras. Transformações hiperbólicas. Dinâmica simbólica. Dinâmica complexa (conjuntos de Julia e de Mandelbrot). Entropia. Introdução à teoria ergódica.

Resultados de aprendizagem

• Descrever as nocções básicas no estudo qualitativo das transformações.
• Dominar as técnicas de análise local das órbitas.
• Compreender as principais classes de transformações caóticas.
• Trabalhar exemplos de dinâmica em dimensão baixa.
• Aplicar os conceitos e as técnicas ao estudo de exemplos.

Programa

Crescimento e decaimento. Sucessão de Fibonacci. Progressão e série geométrica. Modelo exponencial.

Iteração e modelos discretos. Transformações. Análise gráfica (cobweb plot). Transformação logística. . Equações às diferenças finitas, polinómio característico.

Fluxos e simulações. Equações diferenciais ordinárias. Equações autónomas, fluxos. Equações lineares. Simulações.

Sistemas dinâmicos topológicos. Trajetórias, órbitas, estados estacionários, órbitas periódicas. Órbitas periódicas, observáveis, conjuntos invariantes.

Números e dinâmica. Representação decimal. Rotações do círculo. Multiplicação por d. Deslocamentos de Bernoulli. Frações contínuas.

Órbitas regulares e perturbações. Teoremas do ponto fixo. Bacia de atração. Princípio das contrações. Método de Heron.

Linearização. Natureza e estabilidade dos pontos fixos. Método de Newton.

Recorrências. Conjuntos limite. Pontos recorrentes. Conjunto não-errante.

Transitividade e órbitas densas. Transformações transitivas. Conjuntos e transformações minimais.

Perda de memória e independência assimptótica. Dependência sensível das condições iniciais. Transformação tenda. Transformações expansoras. Expansão decimal.

Conjuntos de Cantor, codificação Dinâmica dos deslocamentos de Bernoulli. Conjunto de Cantor. Conjuntos invariantes, atratores.

Dinâmica complexa. Interação de polinómios e funções racionais. Conjuntos de Julia e de Mandelbrot.

Introdução à teoria ergódica. Medidas invariantes. Médias temporais, teorema di Birkhoff. Ergodicidade.

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação.: 2 testes ao longo do semestre.

Calendário estimado dos testes.
Teste 1: 27 de março de 2020
Teste 2: 1 de junho de 2020

Classificação. A nota final é

N = (T₁+ T₂)/2 onde T₁ e T₂ são as notas obtidas no primeiro e no segundo teste, respetivamente. Os alunos com nota N não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será (N+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N=(E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avisos

• Atendimento:
  4ª-feira 14h-16h, gab. CG - Edifício 6 - 3.48.
• Horário:
  TP: 2ª-feira, 11h-13h, sala CG - Edifício 6 - 3.02 (Lab. 1).
  T: 6ª-feira, 9h-11h, sala CG - Edifício 6 - 3.02 (Lab. 1).

Material

Informações: infos_tsd.pdf

Lecture notes: lecture_notes_tsd.pdf

Folhas práticas: folhas_tsd.pdf (2017/18)

Testes e exames:

Bibliografia

[Ar85] V.I. Arnold, Equações diferenciais ordinárias, MIR 1985.

[Ar87] V.I. Arnold, Métodos matemáticos da mecânica clássica, MIR 1987.

[Co19] S. Cosentino, Fundamentals of Dynamical Systems, DMA - Publicações pedagógicas, RepositoriUM, 2019.

[De89] R.L. Devaney, An introduction to chaotic dynamical systems, Addison-Wesley, 1989.

[De92] R.L. Devaney, A first course in chaotic dynamical systems, Westview Press 1992.

[HK03] B. Hasselblatt and A. Katok, A first course in dynamics: with a panorama of recent developments, Cambridge University Press 2003.

[HS74] M.W. Hirsch and S. Smale, Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press (Pure and Applied Mathematics. A series of Monographs and Textbooks), 1974.

[HW59] G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press 1959.

[Kh35] A. Ya. Khinchin, Continued Fractions, 1935 [translation by University of Chicago Press, 1954]

[KH95] A. Katok and B. Hasselblat, Introduction to the modern theory of dynamical systems, Encyclopedia of mathematics and its applications, Cambridge University Press 1995.

[Kn05] O. Knill, Dynamical systems, Harvard University, 2005.

[Ro99] J.C. Robinson, Dynamical Systems, Stability, Symbolic Dynamic and Chaos, CRC Press, Cambridge 1999.

[Ro04] J.C. Robinson, An introduction to ordinary differential equations, Cambridge University Press, 2004.

[St94] S.H. Strogatz, Nonlinear Dynamics and Chaos, Addison-Wesley, 1994.

Software

MATLAB
Maxima
GeoGebra (see the tutorial by Elisha Peterson)

Simulações

MATLAB codes: Cobweb_plot.m, ODEsecond.m, harmonicoscillator.m, lotkavolterra.m, circle_billard.m, mobius.m, circle.m, mobius_on_circle.m, loxodromic_circles.m

GeoGebra codes: Logistic.ggb

GeoGebra applets: Logistic.html