Complementos de Cálculo e de Geometria Analítica
FIS ENGFIS 2022/23

Objetivos de aprendizagem

• Resolver equações diferenciais lineares de coeficientes constantes.
• Identificar matrizes diagonalizzáveis em bases ortonormadas
• Usar a diagonalização para calcular o exponencial de matrizes
• Identificar cónicas e superfícies quádricas.
• Identificar a estrutura de grupo e interpretar o significado geométrico de alguns grupos de matrizes.
• Resolver sistemas de equações diferenciais lineares.

Programa

Equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Polinómio característico. Método dos coeficientes indeterminados. Método da variação das constantes. Oscilações forçadas.

Espaços euclidianos e hermíticos. Valores e vetores próprios de operadores auto-adjuntos. Teorema espetral. Diagonalização de matrizes simétricas, hermíticas e anti-hermíticas.

Formas quadrática reais e hermíticas, forma normal. Propriedades estacionárias dos vetores próprios. Formas quadráticas positivas, decomposição polar e valores singulares. Cónicas e superfícies quadráticas.

Grupos de matrizese simetrias. Grupos linear geral. Grupo ortogonal, rotações. Grupo unitário. Grupo de Lorentz.

Exponencial de uma matriz. Sistemas de equações diferenciais, espaço de fases. Análise qualitativa: nodos, focos e selas. Sistemas não homogéneos.

Bibliografia

[Ap69] T.M. Apostol, Calculus 1 & 2, John Wiley & Sons, 1969.

[MW85] J.E. Marsden and A. Weinstein, Calculus I & II, Springer, 1985.

[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.

Avisos

• Atendimento:
  presencial: 4ª-feira 14h-16h, gab. 6-3.48.
  remoto: por marcação, na sala do curso da BB.
• Horário:
  TP2 : 6ª-feira, 14h-16h, sala 1-1.22.
  TP1 : 5ª-feira, 14h-16h, sala 3-2.04.
  T: 3ª-feira, 11h-13h, sala 3-0.08.

Material

Informações: infos_ccga.pdf

Notas: notas_ccga.pdf

Testes e exames: testes_ccga.pdf

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Dois testes ao longo do semestre.

Calendário estimado dos testes.

• Teste 1: 11 de abril de 2023.
• Teste 2: 2 de junho de 2023.

Classificação. A nota final é N = (T₁+ T₂)/2, onde T_k é a nota obtida no k-ésimo teste.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é N = E, onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2, onde O é a nota obtida na prova oral.