Cálculo
OCV 2017/18

Objetivos da unidade curricular e competências a adquirir

• Definir e aplicar o conceito de limite de função real de variável real e correspondentes métodos de cálculo em diversas circunstâncias.
• Definir e aplicar o conceito de derivada como um limite e as suas propriedades.
• Definir o conceito de integral como um limite e aplicar a noção de integral à determinação de áreas e volumes de sólidos de revolução bem como ao cálculo de comprimentos de curvas.
• Definir a aplicar os diferentes métodos de integração em R.
• Identificar e resolver equações (diferenciais) ordinárias lineares de 1ª e 2ª ordem com coeficientes constantes.
• Definir e aplicar os conceitos de sucessão, de série de potências e suas propriedades e aplicções.

Programa

Revisões. Números reais, álgebra elementar e desigualdades. Intervalos e módulo. Potências. Retas, circunferências e parábolas. Funções e gráficos.
Derivadas. Derivada e notação de Leibniz. Derivadas de polinómios. Derivadas de produtos e quocientes. Aproximação linear e reta tangente.
Taxa de variação e regra da cadeia. Taxa de crescimento e derivada segunda. Regra da cadeia. Derivada da função implícita. Curvas paramétricas e derivada. Anti-derivadas.
Gráficos, máximos e mínimo. Teorema do valor intermédio. Funções crescentes e decrescentes. Derivada segunda e convexidade. Esboçar gráficos. Problemas de máximos e mínimos. Teorema do valor médio.
Integral. Somas e áreas. Definição do integral. Teorema fundamental do cálculo. Integrais definidos e indefinidos. Aplicações di integral.
Funções trigonométricas. Coordenadas polares e trigonometria. Derivadas das funções trigonométricas. Funções inversas. Funções trigonométricas inversas.
Exponencial e logaritmo. Funções exponenciais. Logaritmos. Derivadas do exponencial e do logaritmo.
Técnicas de integração. Cálculo de integrais. Integração por substituição. Mudança de variável nos integrais definidos. Integração por partes.
Equações diferenciais. Oscilações. Decaimento e crescimento. Funções hiperbólicas e funções hiperbólicas inversas. Equações diferenciais separáveis. Equações diferenciais lineares de primeira ordem.
Aplicações do integral. Volume de sólidos de revolução. Médias e teorema do valor médio para integrais. Curvas paramétricas. Comprimentos de curvas.
Limites. Limites de funções. Regra de L'Hôpital. Integrais impróprios. Limites de sucessões.
Séries infinitas. Soma de uma série infinita. Critério de comparação e séries alternadas. Testes do integral, da razão e da raiz. Séries de potências. Fórmula de Taylor.

Bibliografia

[Ap69] T.M. Apostol, Calculus 1 & 2, John Wiley & Sons, 1969.

[MW85] J.E. Marsden and A. Weinstein, Calculus I & II, Springer, 1985.

[RHB06] K.F. Riley, M.P. Hobson and S.J. Bence, Mathematical Methods for Physics and Engineering, Cambridge University Press, 2006.

Metodologia de ensino

As aulas teóricas serão dedicadas à exposição e explicação dos conteúdos e à demonstração de resultados. As aulas teórico-práticas serão dedicadas à resolução de exercícios e problemas.

A avaliação periódica será baseada na realização de testes parciais.

Avisos

• Especial: 2ª-feira, 23 de julho de 2018, 9h-11h, sala CG - Edifício 2 - 1.16.
• Consulta e prova oral: 4ª-feira, 31 de janeiro de 2018, 14h-16h, gab. B.4023.
• Recurso: 4ª-feira, 24 de janeiro de 2018, 9h-11h, sala 2.201.
• Consulta e prova oral: 5ª-feira, 11 de janeiro de 2018, 14h-15h, gab. B.4023.
• Teste 2: 5ª-feira, 4 de janeiro de 2018, 15h-17h, sala 1.206.
• Teste 1: 5ª-feira, 2 de novembro de 2017, 15h-17h, salas 3.101 e 2.205.
• Atendimento: 4ª-feira 14h-16h, gab. B.4023.

Material

Informações: infos_cal_OCV.pdf

Testes e exames: testes_cal_OCV.pdf , recurso_cal_OCV.pdf

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Dois testes ao longo do semestre e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Calendário estimado dos testes.

• Teste 1: 2 de novembro de 2017, 15h-17h.
• Teste 2: 4 de janeiro de 2018, 15h-17h.

Classificação. A nota final é

N = T onde T= (T₁+ T₂)/2 e T_k é a nota obtida no k-ésimo teste. Os alunos com nota não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (T+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N = (E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.