Propriedades

Nos resultados que se seguem descrevemos algumas propriedades dos valores própios.

Teorema 4.2.1   Dada uma matriz quadrada $A$ ,

$$\sigma(A)=\sigma(A^T).$$

Recorde que $\vert\lambda I -A\vert=\vert(\lambda I -A)^T\vert=\vert\lambda I -A^T\vert$ .

Teorema 4.2.2   Os valores próprios de uma matriz triangular (inferior ou superior) são os seus elementos diagonais.

Seja $A=[a_{ij}]$ triangular superior, $n\times n$ . Ora $\sigma(A)$ é o conjunto das soluções de $\vert\lambda I_n-A\vert$ . Mas $\lambda I_n-A$ é de novo uma matriz triangular superior já que $\lambda I_n$ é diagonal. Portanto $\vert\lambda I_n-A\vert$ é o produto dos seus elementos diagonais, ou seja, $(\lambda-a_{11})(\lambda-a_{22})\cdots (\lambda-a_{nn})$ , que tem como raizes $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$ .

Teorema 4.2.3   Uma matriz $A$ , quadrada, é invertível se e só se $0\not\in \sigma(A)$ .

Sejam $A$ uma matriz quadrada de ordem $n$ e $\psi_A(\lambda)=\lambda^n+c_1\lambda^{n-1}+\dots +c_{n-1}\lambda +c_n$ o polinómio característico de $A$ . Ora $0\in \sigma(A)$ se e só se 0 é raiz de $\psi_A$ , ou de forma equivalente, $c_n=0$ .

Por definição, $\psi_A(\lambda)=\vert\lambda I_n -A\vert$ . Tomando $\lambda=0$ obtemos $(-1)^n\vert A\vert=\vert-A\vert=c_n$ . tal implica que $\vert A\vert=0$ se e só se $c_n=0$ . Portanto $A$ não é invertível se e só se $c_n=0$ o que por sua vez vimos ser equivalente a $0\in \sigma(A)$ .

Teorema 4.2.4   Sejam $A$ uma matriz quadrada e $k\in {\mathbb{N}}$ . Se $\lambda\in \sigma(A)$ e $x$ é vector próprio associado a $\lambda$ então $\lambda^k\in \sigma(A^k)$ e $x$ é vector próprio de $A^k$ associado a $\lambda^k$ .

Se $\lambda\in \sigma(A)$ e $x$ é vector próprio associado a $\lambda$ então $Ax=\lambda x$ . Desta igualdade segue que, para qualquer $k\in {\mathbb{N}}$ , se tem

$$A^kx=A^{k-1}Ax=A^{k-1}\lambda x=\lambda A^{k-1}x=\cdots =\lambda^x$$

e portanto $\lambda \in \sigma(A^k)$ e $x$ é vector próprio de $A^k$ associado a $\lambda^k$ .

Recordamos que uma matriz $N$ , $n\times n$ , se diz nilpotente se existir um natural $k$ para o qual $N^k=0_{n\times n}$ .

Alertamos ainda para o facto de $\sigma(0_{n\times n})=\left\{0\right\}$ ; isto é, a matriz nula só tem um valor próprio: o zero.

Corolário 4.2.5   Se $N$ é uma matriz nilpotente então $\sigma(N)=\left\{0\right\}$ .

Suponha que $k$ é tal que $N^k=0_{n\times n}$ . Seja $\lambda \in \sigma(N)$ . Então $\lambda^k$ é valor próprio de $N^k=0_{n\times n}$ ; portanto, $\lambda^k=0$ , do que segue que $\lambda=0$ .