Definição e exemplos

Definição 6.1.1   Sejam $V,W$ espaços vectoriais sobre ${\mathbb{K}}$. Uma transformação linear ou aplicação linear de $V$ em $W$ é uma função $T:V \rightarrow W$ que satisfaz, para $u,v\in V,\alpha \in {\mathbb{K}}$,

1. $T(u+v)=T(u)+T(v)$;
2. $T(\alpha u)=\alpha T(u)$.

Para $F,G:{\mathbb{R}}^2 \rightarrow {\mathbb{R}}^4$ definidas por

$$F(x,y)=(x-y,2x+y,0,y)$$

e

$$G(x,y)=(x^2+y^2,1,\vert x\vert,y) ,$$

tem-se que $F$ é linear enquanto $G$ não o é. De facto, para $u_1=(x_1,y_1),u_2=(x_2,y_2)$ e $\alpha \in {\mathbb{K}}$, temos $F(u_1+u_2)=F(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2-y_1-y_2,2x_1+2x_2+y_1+y_2,0,y_1+y_2)=(x_1-y_1,2x_1+y_1,0,y_1)+(x_2-y_2,2x_2+y_2,0,y_2)=F(u_1)+F(u_2)$, e $F(\alpha u_1)=F(\alpha x_1,\alpha y_1)=(\alpha x_1-\alpha y_1,2\alpha x_1 + \alpha y_1,0,\alpha y_1)=\alpha (x_1-y_1,2x_1+y_1,0,y_1)=\alpha F(u_1)$, enquanto que $G(-(1,1))=G(-1,-1)=((-1)^2+(-1)^2,1,\vert-1\vert,-1)=(2,1,1,-1)\ne -(2,1,1,1)=-G(1,1)$

Apresentamos alguns exemplos clássicos de transformações lineares:

1. Sejam $A \in \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ e $T_A:{\mathbb{K}}^n \rightarrow {\mathbb{K}}^m$ definida por $T_A(x)=Ax$. A aplicação $T_A$ é uma transformação linear. Ou seja, dada uma matriz, existe uma transformação linear associada a ela. No entanto, formalmente são entidades distintas. Mais adiante, iremos ver que qualquer transformação linear está associada a uma matriz.
2. Seja $V=C^{\infty} ({\mathbb{R}})$ o espaço vectorial sobre ${\mathbb{R}}$ constituído pelas funções reais de variável real infinitamente (continuamente) diferenciáveis sobre ${\mathbb{R}}$. Seja $D:V\rightarrow V$ definida por $D(f)=f'$. Então, usando noções elementares de análise, é uma transformação linear.
3. A aplicação $F:{\mathbb{K}}_n[x] \rightarrow {\mathbb{K}}_{n-1}[x]$ definida por $F(p)=p'$, onde $p \in {\mathbb{K}}_ n[x]$ e $p'$ denota a derivada de $p$ em ordem a $x$, é uma transformação linear.
4. Sejam $A \in \mathcal{M}_{n\times p}\left( {\mathbb{K}}\right)$ e $F:\mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)\rightarrow \mathcal{M}_{m\times p}\left( {\mathbb{K}}\right)$ definida por $F(X)=XA$. Usando as propriedades do produto matricial, $F$ é uma transformação linear.
5. A aplicação $Trans : \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)\rightarrow \mathcal{M}_{n\times m}\left( {\mathbb{K}}\right)$ definida por $Trans(A)=A^T$ é uma transformação linear.
6. Seja $V$ um espaço vectorial arbitrário sobre ${\mathbb{K}}$. As aplicações $I,O:V\rightarrow V$ definidas por $I(v)=v$ e $O(v)=0$ são transformações lineares. Denominam-se, respectivamente, por transformação identidade e transformação nula.

Definição 6.1.2   Seja $T$ uma transformação linear do espaço vectorial $V$ para o espaço vectorial $W$.

1. Se $V=W$, diz-se que $T$ é um endomorfismo de $V$.

2. A um homomorfismo injectivo de $V$ sobre $W$ chama-se monomorfismo de $V$ sobre $W$; a um homomorfismo sobrejectivo de $V$ sobre $W$ chama-se epimorfismo de $V$ sobre $W$; a um homomorfismo bijectivo de $V$ sobre $W$ chama-se isomorfismo de $V$ sobre $W$; a um endomorfismo bijectivo de $V$ chama-se automorfismo de $V$.

3. $V$ e $W$ são ditos isomorfos, e representa-se por $V \cong W$, se existir uma transformação linear de $V$ em $W$ que seja um isomorfismo.