Seguinte: Matrizes diagonalizáveis
Acima: Valores e vectores prĂ³prios
Anterior: Motivação e definições
  Conteúdo
Nos resultados que se seguem descrevemos algumas propriedades dos valores própios.
Teorema 5.2.1
Dada uma matriz quadrada
,
Recorde que
.
Teorema 5.2.2
Os valores próprios de uma matriz triangular (inferior ou superior) são os seus elementos diagonais.
Seja
triangular superior,
. Ora é o conjunto das soluções de
. Mas
é de novo uma matriz triangular superior já que
é diagonal. Portanto
é o produto dos seus elementos diagonais, ou seja,
, que tem como raizes
.
Teorema 5.2.3
Uma matriz
, quadrada, é invertível se e só se
.
Sejam uma matriz quadrada de ordem e
o polinómio característico de . Ora
se e só
se 0 é raiz de , ou de forma equivalente, .
Por definição,
. Tomando
obtemos
. tal implica que se e só se
. Portanto não é invertível se e só se o que por
sua vez vimos ser equivalente a
.
Teorema 5.2.4
Sejam
uma matriz quadrada e
. Se
e
é
vector próprio associado a
então
e
é vector próprio de
associado a
.
Se
e é vector próprio associado a
então
. Desta igualdade segue que, para
qualquer
, se tem
e portanto
e é vector próprio de
associado a .
Recordamos que uma matriz , , se diz nilpotente se existir um natural
para o qual
.
Alertamos ainda para o facto de
;
isto é, a matriz nula só tem um valor próprio: o zero.
Corolário 5.2.5
Se
é uma matriz nilpotente então
.
Suponha que é tal que
. Seja
. Então é valor próprio de
;
portanto,
, do que segue que .
Terminamos esta secção com duas observações, omitindo a sua prova:
- (i)
- O determinante de uma matriz iguala o produto dos seus valores próprios.
- (ii)
- O traço de uma matriz (ou seja, a soma dos elementos diagonais de uma matriz) iguala a soma dos seus valores próprios.
Seguinte: Matrizes diagonalizáveis
Acima: Valores e vectores prĂ³prios
Anterior: Motivação e definições
  Conteúdo
Pedro Patricio
2008-01-08