Definição e exemplos

Definição 4.1.1   Um conjunto não vazio $V$ é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$ (ou espaço linear) se lhe estão associadas duas operações, uma adição de elementos de $V$ e uma multiplicação de elementos de ${\mathbb{K}}$ por elementos de $V$, com as seguintes propriedades:

1. Fecho da adição: $\forall_{ x,y \in V}, x+y \in V$;
2. Fecho da multiplicação por escalares: $\forall_{ x \in V}, \alpha \in {\mathbb{K}}, \alpha x \in V$;
3. Comutatividade da adição: $x+y=y+x$, para $x,y \in V$;
4. Associatividade da adição: $x+ (y+z)=(x+y)+z$, para $x,y,z \in V$;
5. Existência de zero: existe um elemento de $V$, designado por 0, tal que $x+0=x$, para $x \in V$;
6. Existência de simétricos: $\forall_{ x \in V}, x +\left( -1 \right) x=0$;
7. Associatividade da multiplicação por escalares: $\forall_{ \alpha ,\beta \in {\mathbb{K}},x \in X}, \alpha \left( \beta x \right) = \left( \alpha \beta \right) x$;
8. Distributividade: $\alpha \left( x+y \right) =\alpha x + \alpha y$ e $\left( \alpha + \beta \right) x=\alpha x + \beta x$, para $x,y \in V$ e $\alpha, \beta \in {\mathbb{K}}$;
9. Existência de identidade: $1 x = x$, para todo $x \in V$.

Se $V$ é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$, um subconjunto não vazio $W\subseteq V$ que é ele também um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$ diz-se um subespaço vectorial de $V$.

Por forma a aligeirar a escrita, sempre que nos referirmos a um subespaço de um espaço vectorial queremos dizer subespaço vectorial.

Dependendo se o conjunto dos escalares ${\mathbb{K}}$ é ${\mathbb{R}}$ ou ${\mathbb{C}}$, o espaço vectorial diz-se, respectivamente, real ou complexo.

Apresentam-se, de seguida, alguns exemplos comuns de espaços vectoriais.

1. O conjunto $\mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ das matrizes $m \times n$ sobre ${\mathbb{K}}$, com a soma de matrizes e produto escalar definidos no início da disciplina, é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$.
2. Em particular, ${\mathbb{K}}^n$ é um espaço vectorial.
3. O conjunto $\{ 0 \}$ é um espaço vectorial.
4. O conjunto das sucessões de elementos de ${\mathbb{K}}$, com a adição definida por $\{x_n\} + \{y_n \}=\{x_n + y_n \}$ e o produto escalar por $\alpha \{x_n\}= \{\alpha x_n \}$, é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$. Este espaço vectorial é usualmente denotado por ${\mathbb{K}}^{{\mathbb{N}}}$.
5. Seja $V={\mathbb{K}}\left[x \right]$ o conjunto dos polinómios na indeterminada $x$ com coeficientes em ${\mathbb{K}}$. Definindo a adição de vectores como a adição usual de polinómios e a multiplicação escalar como a multiplicação usual de um escalar por um polinómio, $V$ é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$.
6. Dado $n \in {\mathbb{N}}$, o conjunto ${\mathbb{K}}_n \left[x \right]$ dos polinómios de grau inferior a $n$, com as operações definidas no exemplo anterior, é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$.
7. Seja $V={\mathbb{K}}^{{\mathbb{K}}}$ o conjunto das aplicações de ${\mathbb{K}}$ em ${\mathbb{K}}$ (isto é, $V=\{f:{\mathbb{K}}\rightarrow {\mathbb{K}}\}$). Definindo, para $f,g \in V,\alpha \in {\mathbb{K}}$, a soma e produto escalar como as aplicações de ${\mathbb{K}}$ em ${\mathbb{K}}$ tais que, para $x \in {\mathbb{K}}$,
   $$\left( f+g \right) \left( x\right) = f\left( x \right) + g\left( ... ... \alpha f \right) \left( x \right) = \alpha \left( f \left( x \right) \right) ,$$
   $V$ é desta forma um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$.
8. O conjunto ${\mathbb{C}}$ é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{R}}$. ${\mathbb{R}}$ [resp. ${\mathbb{C}}$] é também um espaço vectorial sobre ele próprio.

9. Seja $V$ um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$ e $S$ um conjunto qualquer. O conjunto $V^S$ de todas as funções de $S$ em $V$ é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$, com as operações
   $$\left( f+g \right) \left( x\right) = f\left( x \right) + g\left( ... ... \alpha f \right) \left( x \right) = \alpha \left( f \left( x \right) \right) ,$$
   onde $f,g\in V^S,\alpha \in {\mathbb{K}}$.

10. Dado um intervalo real $]a,b[$, o conjunto $C]a,b[$ de todas as funções reais contínuas em $]a,b[$, para as operações habituais com as funções descritas acima, é um espaço vectorial sobre ${\mathbb{R}}$. O conjunto $C^k]a,b[$ das funções reais com derivadas contínuas até à ordem $k$ no intervalo $]a,b[$ e o conjunto $C^{\infty} ]a,b[$ das funções reais infinitamente diferenciáveis no intervalo $]a,b[$ são espaços vectoriais reais.

Teorema 4.1.2   Seja $V$ um espaço vectorial sobre ${\mathbb{K}}$ e $W\subseteq V$. Então $W$ é um subespaço de $V$ se e só se as condições seguintes forem satisfeitas:

1. $W \ne \emptyset$;
2. $u,v \in W \Rightarrow u+v \in W$;
3. $v \in W , \alpha \in {\mathbb{K}}\Rightarrow \alpha v \in W$.

Observe que se $W$ é subespaço de $V$ então necessariamente $0_v \in W$.

Alguns exemplos:

1. Para qualquer $k\in {\mathbb{N}}$, $C^\infty ]a,b[$ é um subespaço de $C^k]a,b[$, que por sua vez é um subespaço de $C]a,b[$.
2. O conjunto das sucessões reais convergentes é um subespaço do espaço das sucessões reais.
3. ${\mathbb{K}}_n[x]$ é um subespaço de ${\mathbb{K}}[x]$.
4. o conjunto das matrizes $n\times n$ triangulares inferiores (inferiores ou superiores) é um subespaço de $\mathcal{M}_{n}\left( {\mathbb{K}}\right)$, onde $\mathcal{M}_{n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ denota o espaço vectorial das matrizes quadradas de ordem $n$ sobre ${\mathbb{K}}$.