Teorema de Laplace

Dada uma matriz $A$, quadrada de ordem $n$, denota-se por $A(i\vert j)$ a submatriz de $A$ obtida por remoção da sua linha $i$ e da sua coluna $j$.

Definição 2.4.12   Seja $A=[a_{ij}]$ uma matriz quadrada.

1. O complemento algébrico de $a_{ij}$, ou cofactor de $a_{ij}$, denotado por $A_{ij}$, está definido por
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j} \vert A(i\vert j)\vert$$

2. A matriz adjunta é a transposta da matriz dos complementos algébricos
   $$Adj(A)=\left[A_{ij} \right]^T.$$

Teorema 2.4.13 (Teorema de Laplace I)   Para $A=[a_{ij}]$, $n\times n$, $n>1$, então, e para $k=1,\dots,n$,

$$\vert A\vert = \sum_{j=1}^n a_{kj} A_{kj}$$

$$= \sum_{j=1}^n a_{jk} A_{jk}$$

O teorema anterior é o caso especial de um outro que enunciaremos de seguida. Para tal, é necessário introduzir mais notação e algumas definições (cf. [10]).

Seja $A$ uma matriz $m \times n$. Um menor de ordem $p$ de $A$, com $1\le p\le \min \{m,n\}$, é o determinante de uma submatriz $p\times p$ de $A$, obtida de $A$ eliminando $m-p$ linhas e $n-p$ colunas de $A$.

Considere duas sequências crescentes de números

$$1\le i_1 < i_2 <\dots < i_p\le m, 1\le j_1 < j_2 <\dots < j_p\le n,$$

e o determinante da submatriz de $A$ constituida pelas linhas $i_1, i_2 ,\dots i_p$ e pelas colunas $j_1 , j_2 ,\dots , j_p$. Este determinate vai ser denotado por $A\l (\begin{array}{cccc} i_1& i_2& \dots &i_p j_1&j_2& \dots &j_p\end{array}\r)$. Ou seja,

$$A\l (\begin{array}{cccc} i_1& i_2& \dots &i_p j_1&j_2& \dots &j_p\end{array}\r) = \vert\left[a_{i_k j_k}\right]_{k=1,\dots p} \vert.$$

Paralelamente, podemos definir os menores complementares de $A$ como os determinantes das submatrizes a que se retiraram linhas e colunas. Se $A$ for $n\times n$,

$$A\l (\begin{array}{cccc} i_1& i_2& \dots &i_p j_1&j_2& \dots &j_p\end{array}\r)^c$$

denota o determinante da submatriz de $A$ após remoção das linhas $i_1, i_2 ,\dots i_p$ e das colunas $j_1 , j_2 ,\dots , j_p$ de $A$. O cofactor complementar está definido como

$$A^c\l (\begin{array}{cccc} i_1& i_2& \dots &i_p j_1&j_2& \dots ... ...\begin{array}{cccc} i_1& i_2& \dots &i_p j_1&j_2& \dots &j_p\end{array}\r)^c,$$

onde $s=(i_1+i_2+\cdots i_p)+(j_1+j_2+\cdots j_p)$.

O caso em que $p=1$ coincide com o exposto no início desta secção.

Teorema 2.4.14 (Teorema de Laplace II)   Sejam $A=[a_{ij}]$, $n\times n$, $1\le p \le n$. Para qualquer escolha de $p$ linhas $i_1,i_2,\dots,i_p$ de $A$, ou de $p$ colunas $j_1 , j_2 ,\dots , j_p$ de $A$,

$$\vert A\vert = \sum_{j} A\l (\begin{array}{cccc} i_1& i_2& \dots &i_p j_1&j_2&... ...l (\begin{array}{cccc} i_1& i_2& \dots &i_p j_1&j_2& \dots &j_p\end{array}\r)$$

onde a soma percorre todos os menores referentes à escolha das linhas [resp. colunas].

Para finalizar, apresentamos um método de cálculo da inversa de uma matriz não singular.

Teorema 2.4.15   Se $A$ é invertível então

$$A^{-1}=\frac{Adj(A)}{\vert A\vert}.$$

Octave
Vamos agora apresentar uma pequena função que tem como entrada uma matriz quadrada e como saída sua matriz adjunta.

function ADJ=adjunta(A)

% sintaxe: adjunta(A)
% onde A e' uma matriz quadrada
% use-a por sua propria conta e risco
% copyleft ;-) Pedro Patricio


n=size(A)(1,1); % n e' o numero de linhas da matriz
ADJ= zeros (n); % inicializacao da matriz ADJ
for i=1:n       % i denota a linha
        for j=1:n       % j denota a coluna
                submatriz=A([1:i-1 i+1:n],[1:j-1 j+1:n]); % submatriz e' a 
submatriz de A a que se lhe retirou a linha i e a coluna j
                cofactor=(-1)^(i+j)* det(submatriz);    % calculo do cofactor
                ADJ(j,i)=cofactor;      % ADJ é a transposta da matriz dos 
cofactores; repare que a entrada (j,i) e' o cofactor (i,j) de A
        end;    % fim do ciclo for em j
end             % fim do ciclo for em i

Grave a função, usando um editor de texto, na directoria de leitura do Octave. No Octave, vamos criar uma matriz $4\times 4$:

> B=fix(10*rand(4,4)-5)
B =

   0  -2   3  -2
  -2   3   1  -1
  -3   0   4   3
  -4   4   0   4
> adjunta(B)
ans =

   76.0000  -36.0000  -48.0000   65.0000
   48.0000  -32.0000  -28.0000   37.0000
   36.0000  -24.0000  -32.0000   36.0000
   28.0000   -4.0000  -20.0000   17.0000

Pelo teorema, como $B^{-1}=\frac{Adj(B)}{\vert B\vert}$ segue que $B Adj(B) =\vert B\vert I_4$.

> B*adjunta(B)
ans =

  -44.00000   -0.00000    0.00000    0.00000
    0.00000  -44.00000   -0.00000    0.00000
    0.00000   -0.00000  -44.00000    0.00000
    0.00000   -0.00000    0.00000  -44.00000