Temas de Matemática
MMTCEBES 2016/17

Objetivos de ensino

O objetivo desta unidade curricular é aprofundar alguns dos temas de matemática considerados relevantes na formação dos professores do 3º Ciclo do Ensino Básico e do Ensino Secundário.

Resultados de aprendizagem

Expor com rigor os conteúdos específicos dos temas que estudou.
Demonstrar os resultados fundamentais dos temas estudados.
Resolver problemas práticos de aplicação das matérias estudadas, justificando todas as suas opções.
Organizar um trabalho em equipa.
Pesquisar autonomamente.
Comunicar com rigor e clareza, escrita e oralmente, os seus argumentos.

Conteúdo programático

Os conteúdos programáticos não estão previamente fixados. Em cada ano letivo são propostos temas matemáticos aos alunos para serem desenvolvidos nas aulas. Os temas são escolhidos de acordo com os interesses dos alunos e dos professores que lecionam a unidade curricular. Os objetivos da unidade curricular são a aquisição de determinadas competências. Os temas a propor são escolhidos de maneira a permitir que os alunos exercitem essas competências.

Temas propostos

Números irracionais. Raizes irracionais, teoremas de Pitágoras e Gauss. Irracionaldade de e e de π.

Representação decimal. Representação em base dez e algoritmo da divisão. Representação de irracionais.

Números normais. Endomorfismo expansores da circunferência e deslocamentos de Bernoulli. Números normais, teorema de Borel.

Aproximações racionais de irracionais. Aproximaçãoo diofantina. Princípio das gavetas e teorema de Dirichlet.

Geometria dos números. Teorema do corpo convexo de Minkowski. Geometria dos números. Teorema de Pick.

Números transcendentes. Números algébricos e transcendentes. Teorema de Liouville e decimais transcendentes. Transcendência de e e de π.

Frações contínuas. Frações contínuas simples. Algorítmo de Euclides e mapa de Gauss. Melhores aproximações racionais de números irracionais.

Grupo modular e série de Farey. Equivalência de frações contínuas. Frações contínuas periódicas e irracionais quadrático, teorema de Lagrange. Grupo modular, plano hiperbólico. Série de Farey.

Distribuição uniforme. Rotações da circunferência. Teorema de Kronecker. Critério e teorema de Weyl. Bilhares.

Leis zero-um. Teoria métrica da aproximação diofantina. Teorema de Borel-Bernstein. Lei zero-um de Khinchin.

Mapa de Gauss e ergodicidade. Ergodicidade do mapa de Gauss. Frequência dos dígitos, teorema de Gauss-Kuzmin. Teoremas de Khinchin e Lévy.

Bibliografia

[CR48] R. Courant and H. Robbins, What is mathematics?, Oxford University Press, 1948.

[HW59] G.H. Hardy and E.M. Wright, An Introduction to the Theory of Numbers, Oxford University Press, 1959.

Avisos

• Época especial: 6ª-feira, 21 de julho de 2017, 9h-11h, lab. 3 do DMA.
• Recurso: 6ª-feira, 30 de junho de 2017, 14h-16h, lab. 3 do DMA.
• Próximas aulas: no dia 4 de abril teremos aula das 9h às 11h na sala 1.302 e das 11h às 13h na sala 1.304.
• Atendimento: 2ª-feira, 14h-16h, gab. B.4023.

Material

Informações: infos_tm.pdf

Temas propostos: temas_tm.pdf

Notas: lecturenotes_tm.pdf

Calendário das apresentações:

Avaliação contínua/periódica

Elementos de avaliação. Trabalho de grupo escrito e apresentação oral pública.

Trabalho de grupo. Cada grupo é composto por um número de alunos inferior ou igual a 2. O trabalho consiste no estudo de um tema proposto ou aprovado pelo docente. A composição dos grupos e os temas escolhidos devem ser comunicados ao docente até o dia 15 de março de 2017. O desenvolvimento do trabalho será acompanhado durante as aulas e no horário de atendimento. A avaliação dos trabalhos seráa baseada numa apresentação oral, feita durante as aulas, e num breve relatório escrito. Práticas fraudolentas serão devidamente penalizadas. A data de cada apresentação será decidida pelo docente, e comunicada aos alunos com pelo menos uma semana de antecedência. O prazo para a entrega dos relatórios e a apresentação dos trabalhos é o fim do período letivo.

Classificação. A nota final é

N = (T+A)/2 onde T é a notas obtida no trabalho escrito e A é a nota obtida na apresentação pública.

Avaliação por exame final

Elementos de avaliação. Um exame escrito e uma prova oral complementar (não obrigatória).

Classificação. A nota final é

N = E onde E é a nota obtida na prova escrita. Os alunos com nota E não inferior a 8 valores podem optar por uma prova oral complementar. Neste caso, a nota final será N=(E+O)/2 onde O é a nota obtida na prova oral.