Objetivos de aprendizagem
Aplicar os teoremas fundamentais da análise complexa à resolução de problemas físicos.
Relacionar a noção de derivada de uma função complexa com as condições de Cauchy-Riemann.
Utilizar a técnica de desenvolvimento em séries de Laurent no estudo de singularidades de funções complexas.
Aplicar o método dos resíduos ao cálculo de integrais reais e complexos.
Utilizar transformações conformes para resolução de problemas de contorno em domínios de geometria simples.
Aplicar o método de separação de variáveis e o conceito de expansão de uma função em série de Fourier na resolução das equações do calor, de Laplace e das ondas.
Conteúdos programáticos
Álgebra, geometria e topologia do plano complexo. Derivada complexa, funções holomorfas. Condições de Cauchy-Riemann.
Integrais de contorno. Teorema de Cauchy-Goursat. Fórmulas integrais de Cauchy e consequências. Teorema Fundamental da Álgebra.
Séries de potências, funções analíticas. Séries de Taylor e séries de Laurent.
Singularidades isoladas, cálculo dos resíduos e aplicação ao cálculo de integrais reais.
Aplicações conformes, grupo de Mobius. Funções harmónicas, método das transformações conformes.
Equações diferenciais parciais da física-matemática: ondas, calor e Laplace. Método de separação de variáveis.
Séries de Fourier. Transformada de Fourier. Produto de convolução. Aplicações das séries e da transformada de Fourier às equações diferenciais parciais.
Avaliação assimptótica de integrais. Integrais do tipo Laplace e do tipo Fourier. Método do steepest descent.
Bibliografia
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