Resta-nos definir o produto matricial.
Seja
uma matriz
e
uma matriz
. O produto de
por
, denotado por
, é a matriz
cujo elemento
é
. Assim,
Atente-se nas dimensões de e
na definição anterior.
Antes de fazermos referência a algumas propriedades, vejamos uma outra forma exprimir o produto de duas matrizes. Para tal, assuma que
, sendo a primeira do tipo
e a segunda do tipo
. Pelo que acabámos de referir, o produto de
por
está bem definido, sendo a matriz produto do tipo
, e portanto, um elemento de
. Esse elemento é
. Voltemos agora ao produto de
por
, e fixemos a linha
de
e a coluna
de
. Ou seja, a matriz linha
e a matriz coluna
. O produto da primeira pela segunda é o elemento de
dado por
. Ora, este elemento não é mais nem menos que a entrada
da matriz produto
. Ou seja, a entrada
de
é o produto da linha
de
pela coluna
de
.
Vejamos algumas propriedades deste produto de matrizes, onde as dimensões das matrizes são tais que as operações indicadas estão definidas, e
:
Façamos a verificação da primeira igualdade de . A verificação de que as matrizes são do mesmo tipo fica ao cargo do leitor. Iremos apenas verificar que a entrada
de
iguala a entrada
de
. Ora, supondo que
tem
colunas, e portanto que
e
têm
linhas,
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||
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||
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Verifiquemos também a propriedade . Note-se que
e
se
. Ora
.
É importante notar que o produto matricial não é, em geral, comutativo. Por exemplo,
. A lei do anulamento do produto também não é válida, em geral, no produto matricial. Por exemplo,
, sem que um dos factores seja nulo. Ou seja,
. De uma forma mais geral,
, já que, por exemplo,
.
Como é fácil de observar, a soma de duas matrizes triangulares inferiores [resp. triangulares superiores] é de novo triangular inferior [resp. triangular superior]. O que se pode dizer em relação ao produto?
Por vezes é conveniente considerar-se o produto matricial por blocos. Para tal, considere as matrizes e
divididas em submatrizes