Soma e produto escalar

Sejam $A=\left[a_{ij} \right], B=\left[b_{ij} \right]\in \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ e $\alpha \in {\mathbb{K}}$.

1. A soma entre matrizes $A+B$ é a matriz $m \times n$ cujo elemento $(i,j)$ é $a_{ij}+b_{ij}$. Ou seja, $(A+B)_{ij}=(A)_{ij}+(B)_{ij}$.
2. O produto de uma matriz com um escalar $\alpha A$ é a matriz $m \times n$ cujo elemento $(i,j)$ é $\alpha a_{ij}$. Ou seja, $(\alpha A)_{ij}=\alpha (A)_{ij}$.

Repare que a soma de duas matrizes, da mesma ordem, é feita elemento a elemento, e o produto escalar de uma matriz por $\alpha \in {\mathbb{K}}$ é de novo uma matriz da mesma ordem da dada, onde cada entrada surge multiplicada por $\alpha$. Ou seja,

$$\left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\ a_{21}&a... ...& \vdots \\ a_{n1}+b_{n1}&a_{n2}+b_{n2}&\dots &a_{nm}+b_{nm}\end{array}\right]$$

e

$$\alpha \left[\begin{array}{cccc} a_{11}&a_{12}&\dots &a_{1m}\\ a... ... \vdots \\ \alpha a_{n1}&\alpha a_{n2}&\dots &\alpha a_{nm}\end{array}\right].$$

Por exemplo,

$$\left[\begin{array}{cc}1&2 3&4\end{array}\right]+ \left[\begin{... ...\end{array}\right]= \left[\begin{array}{cc}1+5&2+6 3+7& 4+8\end{array}\right]$$

e

$$5\left[\begin{array}{cc}1&2 3&4\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}5 \cdot 1&5 \cdot 2 5 \cdot 3&5 \cdot 4\end{array}\right].$$

Como é fácil de compreender, a soma e o produto escalar são comutativos.

De ora em diante, 0 representa uma qualquer matriz cujos elementos são nulos, e se $A= \left[a_{ij} \right]$ então $-A=\left[-a_{ij}\right]$.

Estas operações satisfazem as propriedades que de seguida se descrevem, onde $A,B,C \in \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ e $\alpha, \beta \in {\mathbb{K}}$:

1. A soma de matrizes é associativa: $(A+B)+C=A+(B+C)$.
2. A soma de matrizes é comutativa: $A+B=B+A$
3. A matriz nula é o elemento neutro da adição: $A+0=0+A$.
4. Existe o simétrico de cada matriz $A+(-A)=(-A)+A=0$.
5. $\alpha (A+B)=\alpha A + \alpha B$.
6. $(\alpha + \beta) A= \alpha A + \beta A$.
7. $(\alpha \beta) A = \alpha ( \beta A )$.
8. $1\cdot A = A$.