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Brincando com a característica

Nesta secção vamos apresentar alguns resultados importantes que se podem deduzir facilmente à custa de $ car(A)+\mathrm{nul}(A)=n$, onde $ A$ é uma matriz $ m \times n$. Pressupõe-se que $ B$ é uma matriz tal que $ AB$ existe.

  1. $ car(AB)\le car(A)$.
    Como vimos na secção anterior, $ CS(AB)\subseteq CS(A)$, pelo que $ \dim CS(AB)\le \dim CS(A)$.
  2. Se $ B$ é invertível então $ car(A)= car(AB)$.
  3. $ N(B)\subseteq N(AB)$.
    Se $ b \in N(B)$ então $ Bb=0$. Multiplicando ambos os lados, à esquerda, por $ A$ obtemos $ ABb=0$, pelo que $ b\in N(AB)$.
  4. $ \mathrm{nul}(B)\le \mathrm{nul}(AB)$.
  5. $ N(A^TA)=N(A)$.
    Resta mostrar que $ N(A^TA)\subseteq N(A)$. Se $ x\in N(A^TA)$ então $ A^TAx=0$. Multiplicando ambos os lados, à esquerda, por $ x^T$ obtemos $ x^TA^TAx=0$, pelo $ (Ax)^TAx=0$. Seja $ (y_1,\dots,y_n)=y=Ax$. De $ y^Ty=0$ obtemos $ y_1^2+y_2^2+\dots y_n^2=0$. A soma de reais não negativos é zero se e só se cada parcela é nula, pelo que cada $ y_i^2=0$, e portanto $ y_i=0$. Ou seja, $ y=0$, donde segue que $ Ax=0$, ou seja, que $ x\in N(A)$.
  6. $ \mathrm{nul}(A^TA)=\mathrm{nul}(A)$.
  7. $ car(A^TA)=car(A)=car(AA^T)$.
    De $ car(A)+\mathrm{nul}(A)=n=car(A^TA)+\mathrm{nul}(A^TA)$ e $ \mathrm{nul}(A^TA)=\mathrm{nul}(A)$ segue que $ car(A^TA)=car(A)$. Da mesma forma, $ car(A^T)=car(AA^T)$. Como $ car(A)=car(A^T)$, obtemos $ car(A)=car(AA^T)$.
  8. Se $ car(A)=n$ então $ A^TA$ é invertível.
    $ A^TA$ é uma matriz $ n\times n$ com característica igual a $ n$, pelo que é uma matriz não-singular, logo invertível.

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Pedro Patricio 2008-01-08