Teorema de Laplace

Dada uma matriz $A$ , quadrada de ordem $n$ , denota-se por $A(i\vert j)$ a submatriz de $A$ obtida por remoção da sua linha $i$ e da sua coluna $j$ .

Definição 1.4.12   Seja $A=[a_{ij}]$ uma matriz quadrada.

1. O complemento algébrico de $a_{ij}$ , ou cofactor de $a_{ij}$ , denotado por $A_{ij}$ , está definido por
   $$A_{ij}=(-1)^{i+j} \vert A(i\vert j)\vert$$

2. A matriz adjunta é a transposta da matriz dos complementos algébricos
   $$Adj(A)=\left[A_{ij} \right]^T.$$

Teorema 1.4.13 (Teorema de Laplace)   Para $A=[a_{ij}]$ , $n\times n$ , $n>1$ , então, e para $k=1,\dots,n$ ,

$$\vert A\vert = \sum_{j=1}^n a_{kj} A_{kj}$$

$$= \sum_{j=1}^n a_{jk} A_{jk}$$

Para finalizar, apresentamos um método de cálculo da inversa de uma matriz não singular.

Teorema 1.4.14   Se $A$ é invertível então

$$A^{-1}=\frac{Adj(A)}{\vert A\vert}.$$

Octave
Vamos agora apresentar uma pequena função que tem como entrada uma matriz quadrada e como saída sua matriz adjunta.

function ADJ=adjunta(A)

% sintaxe: adjunta(A)
% onde A e' uma matriz quadrada
% use-a por sua propria conta e risco
% copyleft ;-) Pedro Patricio


n=size(A)(1,1); % n e' o numero de linhas da matriz
ADJ= zeros (n); % inicializacao da matriz ADJ
for i=1:n       % i denota a linha
        for j=1:n       % j denota a coluna
                submatriz=A([1:i-1 i+1:n],[1:j-1 j+1:n]); % submatriz e' a 
submatriz de A a que se lhe retirou a linha i e a coluna j
                cofactor=(-1)^(i+j)* det(submatriz);    % calculo do cofactor
                ADJ(j,i)=cofactor;      % ADJ é a transposta da matriz dos 
cofactores; repare que a entrada (j,i) e' o cofactor (i,j) de A
        end;    % fim do ciclo for em j
end             % fim do ciclo for em i

Grave a função, usando um editor de texto, na directoria de leitura do Octave. No Octave, vamos criar uma matriz $4\times 4$ :

> B=fix(10*rand(4,4)-5)
B =

   0  -2   3  -2
  -2   3   1  -1
  -3   0   4   3
  -4   4   0   4
> adjunta(B)
ans =

   76.0000  -36.0000  -48.0000   65.0000
   48.0000  -32.0000  -28.0000   37.0000
   36.0000  -24.0000  -32.0000   36.0000
   28.0000   -4.0000  -20.0000   17.0000

Pelo teorema, como $B^{-1}=\frac{Adj(B)}{\vert B\vert}$ segue que $B\, Adj(B) =\vert B\vert I_4$ .

> B*adjunta(B)
ans =

  -44.00000   -0.00000    0.00000    0.00000
    0.00000  -44.00000   -0.00000    0.00000
    0.00000   -0.00000  -44.00000    0.00000
    0.00000   -0.00000    0.00000  -44.00000