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Que sistemas dinâmicos podem ser mergulhados em sistemas de Lotka-Volterra? Antigas e novas respostas serão revistas.

Apresentamos alguns resultados analíticos sobre a existência de órbitas periódicas no problema restringido dos três corpos com dissipação considerado recentemente por Celletti et al [1]. Mostramos que, sob hipóteses bastante gerais para os termos dissipativos, as órbitas circulares do problema de Kepler não podem ser continuadas. Damos também condições para a ocorrência ou não de uma bifurcação de Hopf em torno dos pontos de libração $L_4$ e $L_5$. Os resultados obtidos quando aplicados aos termos dissipativos considerados por Celletti et al. fornecem resultados consistentes com as simulações apresentadas em [1]. \smallskip Palavras chave: Problema restringido, Forças dissipativas, Órbitas periódicas, Alternativa de Fredholm, Bifurcação de Hopf. \smallskip [1] A. Celletti, L. Stefanelli, E. Lega and C. Froeschlé, Some results on the global dynamics of the regularized restricted three-body problem with dissipation, Celest. Mech. Dyn. Astr. (2011), 109: 265-284.

Consideramos um sistema dinâmico $f:M \rightarrow M$, onde $M$ é uma variedade Riemanniana e $f$ é um difeomorfismo. Supomos que o sistema dinâmico tem uma estrutura Gibbs-Markov-Young, que consiste num conjunto de referência $\Lambda$ com uma estrutura de produto hiperbólico que satisfaz certas propriedades. As propriedades que assumimos aqui são a existência de uma partição de Markov de $\Lambda$, contração polinomial em folhas estáveis, contração polinomial para trás em folhas instáveis, uma propriedade de distorção limitada e uma certa regularidade da folheação estável. Os nossos objetivos principais são estabelecer um controlo do decaimento de correlações e dos grandes desvios, bem como apresentar um exemplo de um sistema dinâmico que satisfaz a estrutura Gibbs-Markov-Young descrita acima.

Pretende-se generalizar a uma dimensão arbitrária e a dimensão infinita alguns resultados relativos ao atrator do pêndulo simples. Resultados obtidos por Russel Smith na década de 80 têm um papel fundamental na argumentação. Este trabalho está a ser desenvolvido em conjunto com o professor Rogério Martins e com o seu orientador de doutoramento Rafael Ortega.

Alguns problemas quasivariacionais, motivados por questões tão diversas como certos modelos da supercondutividade ou dos montes de areia podem ser formulados como problemas de evolução envolvendo o cone normal convexos que variam com o tempo e com a própria solução (ou operadores mais gerais). Revisitarei alguns resultados obtidos nesta direcção.