Notação matricial

Uma matriz do tipo $m \times n$ sobre ${\mathbb{K}}$ é uma tabela com $mn$ elementos de ${\mathbb{K}}$, elementos esses dispostos em $m$ linhas e $n$ colunas:

$$A= \left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} ... ...ts & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{array}\right].$$

Os elementos $a_{ij}$ dizem-se os elementos ou componentes da matriz. A matriz diz-se do tipo $m \times n$ se tiver $m$ linhas e $n$ colunas.

O conjunto de todas as matrizes (do tipo) $m \times n$ sobre ${\mathbb{K}}$ representa-se por $\mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ ou por ${\mathbb{K}}^{m \times n}$, e o conjunto de todas as matrizes (finitas) sobre ${\mathbb{K}}$ por $\mathcal{M}\left( {\mathbb{K}}\right)$.
${\mathbb{K}}^m$ denota ${\mathbb{K}}^{m\times 1}$.

Alguns exemplos de matrizes:

$$A=\left[\begin{array}{cc} 1&2 2&3 \end{array}\right], B=\left... ...1&0&6 \end{array}\right], D= \left[\begin{array}{c} 1 -2\end{array}\right].$$

Quando conveniente, escrevemos a matriz $A$ da definição anterior como

$$\left[a_{ij}\right],$$

e referimos $a_{ij}$ como o elemento $(i,j)$ de $A$, isto é, o elemento na linha $i$ e na coluna $j$ de $A$. Iremos também usar a notação $(A)_{ij}$ para indicar o elemento na linha $i$ e coluna $j$ de $A$.

Duas matrizes $\left[a_{ij} \right], \left[b_{ij} \right]\in \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ são iguais se $a_{ij}=b_{ij}$, para $i=1,\dots ,m,j=1,\dots ,n$. Ou seja, duas matrizes são iguais se têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, e que os elementos na mesma linha e coluna são iguais.

Uma matriz do tipo $m$ por $n$ diz-se quadrada de ordem $n$ se $m=n$, ou seja, se o número de linhas iguala o de colunas; diz-se rectangular caso contrário. Por exemplo, são quadradas as matrizes

$$\left[\begin{array}{cc} 1&0 0&-2 \end{array}\right], \left[\begin{array}{ccc}1&2&3 2&3&4 3&4&5\end{array}\right]$$

e rectangulares as matrizes

$$\left[\begin{array}{ccc}1&2&3 0&5&-3\end{array}\right], \left[\... ...} 1&-1\end{array}\right], \left[\begin{array}{c} -1 -4 0\end{array}\right].$$

Os elementos diagonais de $\left[a_{ij} \right]_{i,j=1,\dots n}$ são $a_{11},a_{22},\dots ,a_{nn}$.

Por exemplo, os elementos diagonais de $\left[\begin{array}{cc} 1&0 0&-2 \end{array}\right]$ são $1$ e $-2$, e os da matriz $\left[\begin{array}{ccc}1&2&3 0&5&-3\end{array}\right]$ são $1$ e $5$.

Nos exemplos atrás apresentados, apenas a matriz $A$ é quadrada, sendo as restantes rectangulares. Os elementos diagonais de $A$ são $1,3$.

Octave

Suponha que se pretende definir a matriz $A=\left[\begin{array}{cc}1&2 2&3 \end{array}\right]$. Para tal, faz-se

> A=[1 2;2 3]
A =

  1  2
  2  3

A entrada $(1,2)$ é mostrada através do comando

> A(1,2)
ans = 2

A primeira linha e a segunda coluna da matriz são mostradas com, respectivamente,

> A(1,:)
ans =

  1  2

> A(:,2)
ans =

  2
  3

Considere agora a matriz $B=\left[\begin{array}{ccc} 1&2-i&3i 0&\sqrt{2}&-1 \end{array}\right]$:

> B=[1 2-i 3i; 0 sqrt(2) -1]
B =

   1.00000 + 0.00000i   2.00000 - 1.00000i   0.00000 + 3.00000i
   0.00000 + 0.00000i   1.41421 + 0.00000i  -1.00000 + 0.00000i

No Octave, todas as constantes numéricas são representadas no formato de vírgula flutuante com dupla precisão (as constantes complexas são memorizadas como pares de valores de vírgula flutuante de dupla precisão). O Octave, por defeito, apenas mostra uma parte do valor que armazenou.

> format long
> B=[1, 2-i, 3i; 0, sqrt(2), -1]
B =

 Column 1:

   1.000000000000000 + 0.000000000000000i
   0.000000000000000 + 0.000000000000000i

 Column 2:

   2.000000000000000 - 1.000000000000000i
   1.414213562373095 + 0.000000000000000i

 Column 3:

   0.000000000000000 + 3.000000000000000i
  -1.000000000000000 + 0.000000000000000i

> format
> B
B =

   1.00000 + 0.00000i   2.00000 - 1.00000i   0.00000 + 3.00000i
   0.00000 + 0.00000i   1.41421 + 0.00000i  -1.00000 + 0.00000i

Suponhamos agora que se pretende definir $C$ como a matriz constituída pelos elementos que estão nas linhas de $B$ e que estão nas colunas 1 e 2 de $B$. Para tal, usa-se o comando B(:,1:2). Aqui, o primeiro : indica que se pretender usar todas as linhas de $B$. O argumento 1:2 indica que consideram da primeira à segunda colunas de $B$.

> C=B(:,1:2)
ans =

  1.00000 + 0.00000i  2.00000 - 1.00000i
  0.00000 + 0.00000i  1.41421 + 0.00000i

Se se pretender a coluna 1 e 3, então usa-se a instrução B(:,[1,3]). Uma forma mais rebuscada seria usar o argumento 1:2:3. A sintaxe é simples: início:incremento:final. Assim sendo,

> B(:,1:2:3)
ans =

   1 + 0i   0 + 3i
   0 + 0i  -1 + 0i

Finalmente, podemos concatenar a matriz $A$ definida atrás, por colunas e por linhas, respectivamente,

> [B(:,1:2:3) A]
ans =

   1 + 0i   0 + 3i   1 + 0i   2 + 0i
   0 + 0i  -1 + 0i   2 + 0i   3 + 0i

> [B(:,1:2:3); A]
ans =

   1 + 0i   0 + 3i
   0 + 0i  -1 + 0i
   1 + 0i   2 + 0i
   2 + 0i   3 + 0i

Preste atenção que nem sempre estas operações são possíveis. Uma das causas de falha é o número de linhas ou colunas não compatível.

Finalmente, obtém-se a conjugada de uma matriz conjugando as componentes da matriz dada. Ou seja, a matriz conjugada de $A \in \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{C}}\right)$, denotada como $\bar{A}$, é a matriz $m \times n$ definida por $(\bar A)_{ij}= \overline{a_{ij}}$. Por exemplo,

> conj (B)
ans =

   1.00000 - 0.00000i   2.00000 + 1.00000i   0.00000 - 3.00000i
   0.00000 - 0.00000i   1.41421 - 0.00000i  -1.00000 - 0.00000i

Apresentamos, de seguida, alguns tipos especiais de matrizes.

1. Uma matriz diz-se diagonal se for da forma
   $$\left[\begin{array}{cccc} d_1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & d_2 & \cdot... ... 0 & 0 & \cdots & d_n\end{array}\right]= diag\left( d_1,d_2 ,\dots,d_n \right),$$
   ou seja, o elemento $(i,j)$ é nulo, se $i \ne j$. Portanto, uma matriz quadrada é diagonal se os únicos elementos possivelmente não nulos são os diagonais.

2. A matriz identidade de ordem $n$, $I_n$, é a matriz diagonal de ordem $n$, com os elementos diagonais iguais a 1; ou seja,
   $$I_n = \left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & & \vdots\\ 0 & 0 & \cdots & 1\end{array}\right].$$

3. Uma matriz $A= \left[a_{ij} \right]$ diz-se triangular superior se $a_{ij}=0$ quando $i>j$, e triangular inferior se $a_{ij}=0$ quando $i<j$. Ou seja, são respectivamente triangulares superiores e inferiores as matrizes
   $$\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ 0 ... ...ots & \vdots & & \vdots\\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\end{array}\right].$$

4. Matrizes circulantes
   $$\left[\begin{array}{cccc} a_0 & a_1 & \cdots & a_{n-1}\\ a_{n-1}... ...dots & \vdots & \ddots & \vdots\\ a_1 & a_2 & \cdots & a_0 \end{array}\right].$$

5. Matrizes companheiras, com $v \in {\mathbb{K}}^{n-1}$,
   $$\left[\begin{array}{cc} 0 & a_0\\ I_{n-1} & v \end{array}\right].$$

6. Matrizes de Hankel
   $$H_n = \left[\begin{array}{ccccc} a_0 & a_1 & a_2 & * & a_{n-1} ... ...a_{n-1} & a_n & * & *\\ a_{n-1} & a_n & * & * & a_{2(n-1)} \end{array}\right].$$

7. Matrizes de Toeplitz
   $$T_n = \left[\begin{array}{ccccc} a_0 & a_1 & a_2 & * & a_{n-1} ... ...& * & * & * & a_1\\ a_{-n+1} & a_{-n+2} & * & a_{-1} & a_0 \end{array}\right].$$