Brincando com a característica

Nesta secção vamos apresentar alguns resultados importantes que se podem deduzir facilmente à custa de $car(A)+\mathrm{nul}(A)=n$, onde $A$ é uma matriz $m \times n$. Pressupõe-se que $B$ é uma matriz tal que $AB$ existe.

1. $car(AB)\le car(A)$.
   Como vimos na secção anterior, $CS(AB)\subseteq CS(A)$, pelo que $\dim CS(AB)\le \dim CS(A)$.
2. Se $B$ é invertível então $car(A)= car(AB)$.
3. $N(B)\subseteq N(AB)$.
   Se $b \in N(B)$ então $Bb=0$. Multiplicando ambos os lados, à esquerda, por $A$ obtemos $ABb=0$, pelo que $b\in N(AB)$.
4. $\mathrm{nul}(B)\le \mathrm{nul}(AB)$.
5. $N(A^TA)=N(A)$.
   Resta mostrar que $N(A^TA)\subseteq N(A)$. Se $x\in N(A^TA)$ então $A^TAx=0$. Multiplicando ambos os lados, à esquerda, por $x^T$ obtemos $x^TA^TAx=0$, pelo $(Ax)^TAx=0$. Seja $(y_1,\dots,y_n)=y=Ax$. De $y^Ty=0$ obtemos $y_1^2+y_2^2+\dots y_n^2=0$. A soma de reais não negativos é zero se e só se cada parcela é nula, pelo que cada $y_i^2=0$, e portanto $y_i=0$. Ou seja, $y=0$, donde segue que $Ax=0$, ou seja, que $x\in N(A)$.
6. $\mathrm{nul}(A^TA)=\mathrm{nul}(A)$.
7. $car(A^TA)=car(A)=car(AA^T)$.
   De $car(A)+\mathrm{nul}(A)=n=car(A^TA)+\mathrm{nul}(A^TA)$ e $\mathrm{nul}(A^TA)=\mathrm{nul}(A)$ segue que $car(A^TA)=car(A)$. Da mesma forma, $car(A^T)=car(AA^T)$. Como $car(A)=car(A^T)$, obtemos $car(A)=car(AA^T)$.
8. Se $car(A)=n$ então $A^TA$ é invertível.
   $A^TA$ é uma matriz $n\times n$ com característica igual a $n$, pelo que é uma matriz não-singular, logo invertível.