Álgebra
Elementos da teoria de grupos:
Teorema de Lagrange; grupos quociente; homomorfismos de grupos;
grupo simétrico; Teorema de Cayley. Anéis: domínios
de integridade, anéis de divisão e corpos;
característica de um anel; ideais; anel quociente; ideais
maximais e ideais primos; homomorfismos de anéis. Anéis de
polinómios: divisibilidade; polinómios irredutíveis;
Teorema Fundamental da Álgebra; factorização de
polinómios sobre os complexos, os reais e os racionais.
Álgebra Linear I
Espaços vectoriais
reais ou complexos; soma e soma directa de subespaços;
subespaço gerado; dependência e independência linear;
base e dimensão de um espaço finitamente gerado.
Aplicações lineares; núcleo e imagem; isomorfismos.
Matrizes: matriz de uma aplicação linear; matrizes
invertíveis; matriz de mudança de base; matrizes
semelhantes; característica; condensação. Sistemas de
equações lineares; classificação e
resolução
de sistemas; representação de subespaços através de sistemas.
Álgebra Linear II
Determinantes; teorema de
Laplace; cálculo da inversa de uma matriz; sistemas de Cramer.
Valores e vectores próprios; determinação de valores e
vectores próprios; teorema de Hamilton-Cayley; polinómio
mínimo; multiplicidade; diagonalização. Formas de
Jordan. Espaços vectoriais com produto interno; processo de
ortogonalização de Gram-Schmidt; matriz da métrica;
produtos vectorial e misto; matrizes e endomorfismos ortogonais e
simétricos.
Álgebra Linear Numérica (opção)
Sistemas de equações lineares: factorizações LU,
Cholesky, QR e SVD; métodos iterativos; método dos
gradientes conjugados; pré-condicionamento; sistemas
sobredeterminados e mínimos quadrados. Valores e vectores
próprios: métodos da potência e
potência inversa; método QR; método de Lanczos.
Algoritmos Numéricos e Computação Paralela (opção)
Noções básicas da computação paralela.
Sistemas de memória distribuída e sistemas de memória
partilhada. O modelo ``message-passing''. Algoritmos paralelos
para a multiplicação de matrizes e decomposições
LU, de Cholesky e QR. Métodos paralelos da bissecção,
de Jacobi, QR e de Lanczos para o cálculo de valores
próprios de matrizes simétricas. Apresentação das
``packages''
BLAS, LAPACK, SCALAPACK e ARPACK.
Análise I
Noções topológicas em
. Equivalência da métrica produto com a métrica
euclideana. Conexidade e compacidade. Sucessões e séries
em
. Completude de
. Continuidade. Derivadas
direccionais, derivadas parciais e aplicação linear
derivada num ponto. Teorema da Função Inversa e
Teorema da Função Implícita. Regra de Leibniz.
Análise II
Noções básicas sobre
integrabilidade em
. Teoremas de Lebesgue, de Fubini e da
mudança de variável. Coordenadas polares, cilíndricas
e esféricas. Integrais impróprios. Polinómio de
Taylor. Máximos e mínimos locais e condicionados. Campos
de gradientes e campos conservativos. Teorema de Green e Teorema
da Divergência. Integrais de funções em
superfícies de nível. Teorema de Stokes.
Análise Complexa
Sucessões e
séries. Funções contínuas e funções
deriváveis. Condições de Cauchy-Riemann.
Funções analíticas. Teoremas dos Zeros Isolados, do
Módulo Máximo, Teorema Fundamental da Álgebra.
Singularidades. Integrais. Teorema
de Cauchy e Teorema dos Resíduos.
Análise Funcional I (opção)
Distribuições: definição, operações
básicas e operação de convolução. Derivada no
sentido das distribuições. Espaços Sobolev. Teorema do
traço. Introdução às formulações
variacionais de problemas de valores de fronteira. Exemplos de
aplicação. Topologia fraca em espaços
vectoriais normados.
Análise Funcional II (opção)
Teorema de Hahn-Banach: forma analítica e forma
geométrica. Teoremas da aplicação aberta e do
gráfico fechado. Operadores compactos. Espaços de Hilbert,
operadores auto-adjuntos e análise
espectral.
Análise Numérica
Erros e estabilidade.
Interpolação polinomial. Quadratura: fórmulas de
Newton-Cotes. Equações não lineares. Sistemas de
equações lineares: métodos directos. Equações
diferenciais ordinárias: problemas de valores iniciais. Estudo
do sistema MATLAB e sua utilização na programação
de métodos estudados.
Análise Numérica de Equações de Derivadas Parciais (opção)
Equações parabólicas: método de diferenças
finitas. Equações hiperbólicas: método das
características e métodos de diferenças finitas.
Equações elípticas: introdução ao método
dos elementos
finitos.
Cálculo I
Axiomática do corpo dos
números reais. Topologia da recta, teorema de Borel-Lebesgue.
Sucessões de números reais, completude de IR. Séries
de números reais, critérios de convergência.
Continuidade e continuidade uniforme de funções reais de
variável real. Teoremas de Weierstrass e do Valor
Intermédio. Função composta e função inversa.
Derivabilidade: interpretação geométrica, teoremas de
Rolle, Lagrange, Cauchy e
Darboux. Derivadas de ordem superior. Esboço de gráficos.
Cálculo II
Funções hiperbólicas
e hiperbólicas inversas, esboço dos seus gráficos.
Integral indefinido: integração imediata, por partes e por
substituição e integração de fracções
racionais. Integral de Riemann: conceito de função
integrável; os Teoremas Fundamentais do Cálculo; integrais
impróprios, critérios de convergência.
Convergência simples e uniforme de sucessões e séries
de funções. Séries de potências, convergência
uniforme em compactos, regularidade. Polinómios e séries
de Taylor. Aplicações. O limite uniforme do integral
definido de sucessões e séries de funções.
Complementos de Álgebra (opção)
Extensões de corpos: extensões
algébricas; extensões finitas; grau de uma extensão;
Teorema da multiplicidade dos graus; corpos de
decomposição de polinómios. Elementos da teoria de
Galois: grupo de Galois de uma extensão de um corpo;
correspondências de Galois; extensões normais;
extensões separáveis; Teorema Fundamental da Teoria de
Galois; polinómios solúveis por meio de
radicais.
Complementos de Análise Complexa (opção)
Transformações conformes: transformações de
Möbius e transformações de Schwarz-Christoffel;
aplicações a problemas de condução de calor,
electroestática e mecânica de fluidos; utilização
de packages de transformação conforme numérica.
Funções
harmónicas e aplicação à dinâmica de fluidos.
Complementos de Análise Numérica (opção)
Interpolação de Hermite e funções spline.
Polinómios ortogonais. Quadratura Gaussiana.
Aproximação uniforme e de mínimos quadrados.
Equações diferenciais ordinárias: problemas de valores
de fronteira (introdução ao estudo de métodos de
diferenças finitas e
de elementos finitos).
Curvas e Superfícies (opção)
Curvas parametrizadas. Comprimento de arco.
Reparametrizações. Curvatura. Circunferência
osculadora. Torsão. Triedro de Frenet. Formulas de Frenet.
Teorema fundamental da teoria local de curvas. Curvas planares. A
desigualdade isoperimétrica. Superfícies.
Aplicações diferenciáveis e espaço tangente. A
primeira forma fundamental. Comprimento de uma curva numa
superfície. Área de uma região da superfície.
Orientação. A derivada da aplicação de Gauss.
Curvatura normal. Segunda forma fundamental. Curvaturas de Gauss e
média. Geodésicas. O teorema Egrégio de Gauss. O
Teorema de
Gauss-Bonnet.
Equações Diferenciais
Equações
diferenciais lineares: de coeficientes constantes, de primeira
ordem, redução de ordem, método do polinómio
aniquilador, método da variação dos parâmetros,
mudança da variável independente, resolução usando
séries de potências. Equações diferenciais do tipo
y'=f(x,y), teoremas gerais, equações: de variáveis
separáveis, equações exactas, equações
homogéneas, equações de Bernoulli. Introdução
ao estudo das equações de derivadas parciais:
classificação em tipos. Equação do calor,
equação das ondas e equação de Laplace. Problemas
de valores de fronteira e problemas de valores iniciais.
Método de separação de variáveis.
Equações Diferenciais da Física (opção)
Teoria das equações de derivadas parciais: modelos
hiperbólicos, parabólicos, elípticos e de
Schrödinger. Aplicações à mecânica de fluidos,
física de plasmas e electromagnetismo
(equações de Maxwell).
Estatística Matemática
Introdução e conceitos básicos. Estatística
descritiva e análise exploratória de dados. Teoria da
estimação pontual. Método da máxima
verosimilhança. Estimação intervalar.
Introdução aos testes estatísticos: noções
fundamentais. Teoria de Neyman-Pearson. Testes de razão de
verosimilhanças. Testes uniformemente mais potentes. Testes
paramétricos nos modelos binomial, normal, e outros. Testes de
qui-quadrado. Modelos lineares. Estatísticas ordinais.
Tópicos de
estatística não paramétrica.
Geometria
Espaços afins;
representação de subespaços afins; equações
cartesianas; problemas não métricos - incidência e
paralelismo; problemas métricos - distâncias e
ângulos. Superfícies algébricas: cónicas,
quádricas e
superfícies de revolução.
Geometria Axiomática
Geometria
axiomática: Euclides e Hilbert. Construções
geométricas no plano euclidiano. Geometria inversiva e
aplicações. Introdução às geometrias não
euclidianas:
geometria hiperbólica, geometria esférica.
História da Matemática
Introdução (os humanos e a capacidade de criar sistemas
simbólicos complexos, alguns mapas históricos e alguns
quadros cronológicos; a Matemática antes do séc. VI (a
Matemática na Antiguidade, o começo da Matemática na
Grécia, Arquimedes); a Matemática Medieval: 500-1400 (a
Matemática Islâmica e a Matemática na Europa
Medieval); a Matemática entre 1400 e 1700 (métodos
matemáticos do renascimento, o começo do
Cálculo Infinitesimal).
Nota: Este programa poderá ser alterado, devendo
manter-se sempre a filosofia de o curso se apoiar na leitura de
textos
originais.
Introdução à Análise Funcional
Espaços vectoriais normados e espaços de Banach.
Aplicações lineares contínuas e espaços duais.
Espaços de Hilbert. Bases ortormadas e bases de Riesz. Teorema
da projecção. Uma breve introdução à teoria da
medida. O integral de Lebesgue. Espaços 
e seus duais.
Teorema da representação de Riesz.
Lógica Aplicada (opção)
Cálculo de predicados para Lógica Clássica:
semântica de Tarski; dedução natural,
correcção e completude. Lógica Construtiva:
demonstrações como construções; sistemas formais
com anotações (o exemplo da Lógica Intuicionista);
extracção de algoritmos a partir de
provas.
Matemática Computacional
Sistemas
computacionais algébricos versus sistemas computacionais
numéricos; introdução ao Mathematica: o FrontEnd, o
Kernel e os pacotes de software. As capacidades gráficas do
Mathematica. O cálculo no Mathematica: derivação e
séries de Taylor; integração simbólica e
numérica. A Álgebra Linear no Mathematica. As capacidades
álgebricas do Mathematica: manipulação de
expressões algébricas, resolução simbólica e
numérica de sistemas de equações lineares,
resolução numérica de equações não
lineares. O
Mathematica como linguagem de programação funcional.
Matemática Discreta
Noções
básicas sobre grafos: caminhos, atalhos, componentes conexas.
Grafos eulerianos e grafos hamiltonianos. Grafos planares, sua
caracterização. Fórmula de Euler. Introdução
à teoria de números: divisibilidade, números primos,
máximo divisor comum e mínimo múltiplo comum,
algoritmo de Euclides, teorema fundamental da aritmética.
Equações diofantinas, congruências, o anel
,
teorema chinês dos restos. Função e
fórmula de Euler, teorema de Wilson.
Métodos Matemáticos da Física (opção)
Pretende-se apresentar ao aluno uma ou mais áreas da
Física onde seja importante a utilização de
métodos matemáticos. Por exemplo, poderão ser focados
alguns dos seguintes tópicos: mecânica, electromagnetismo,
termodinâmica, óptica, mecânica quântica,
mecânica estatística, teoria da relatividade.
Modelação Matemática
Formulação e análise de modelos matemáticos:
modelos discretos, modelos contínuos e modelos
probabilísticos. As ferramentas utilizadas poderão
incluir optimização, simulação, probabilidades,
equações às diferenças e equações
diferenciais elementares. As áreas de aplicação
incluirão
a biologia, a física, a economia e outras áreas da ciência.
Processos Estocásticos (opção)
Introdução aos processos estocásticos. Processos de
Poisson. Processos de renovamento. Cadeias de Markov. Processos de
nascimento e morte.
Processos de difusão.
Séries Temporais (opção)
Introdução. Processos estacionários. Modelos ARMA.
Processos não
estacionários. Estimação e previsão.
Sistemas Dinâmicos
Iteração de transformações, fluxos. Órbitas
periódicas, natureza e estabilidade. Bifurcações,
cascata de Feigenbaum. Conjuntos invariantes e atractores.
Fractais. Introdução à dinâmica topológica.
Recorrências, sistemas caóticos. Transformações
expansoras. Transformações hiperbólicas. Dinâmica
simbólica. Dinâmica complexa (conjuntos de Julia e de
Mandelbrot). Entropia. Introdução
à teoria ergódica.
Temas Especiais de Matemática
Estudo de
tópicos a decidir, em cada ano, entre o docente e o aluno, com
elaboração
e apresentação de um trabalho escrito.
Teoria da Aproximação (opção)
O problema da melhor aproximação num
espaço vectorial normado. Condições de existência
e unicidade de melhor aproximação. Aproximações
polinomiais de funções contínuas. Teorema de
Weierstrass. Teorema do resto de Peano e algumas
aplicações. Aproximação de funções
periódicas. Séries de Fourier e sua convergência.
Teoria das Probabilidades
Introdução e
conceitos básicos. Teoria axiomática. Variáveis
aleatórias, vectores aleatórios e distribuições de
probabilidade (discretas, absolutamente contínuas e outras).
Medidas de localização, dispersão e forma. Momentos,
desigualdades e transformadas. Famílias de
distribuições univariadas e multivariadas mais comuns.
Funções de variáveis aleatórias. O modelo normal e
suas propriedades. Distribuições por amostragem em modelos
normais. Convergências estocásticas. Teorema Limite
Central e leis dos
grandes números.
Teoria de Controle e Processamento de Sinal (opção)
Descrição matemática de sistemas lineares.
Descrição ``entrada-saída'': linearidade,
causalidade, repouso no estado inicial, invariância e
Função de Transferência. Descrição através
da ``variável de estado'' - conceito de ``estado'':
equações dinâmicas, linearidade, invariância e
Função de Transferência. Resposta a impulsos.
Controlabilidade e observabilidade. Sinais e espectros. Sinais
analógicos versus sinais digitais. Transformada de Laplace.
Transformada z. Discretização, transformadas de
Fourier (DTFT e DFT). Filtros.
Teoria de Números (opção)
Estudo da função de Euler. Raízes primitivas e
índices, aplicação ao estudo de alguns tipos de
congruências. Resíduos quadráticos, lei da
reciprocidade quadrática. Estudo de algumas equações
do tipo
. Representação de inteiros como
soma de quadrados. Fracções racionais, aplicação
ao estudo das equações de Pell e à
factorização de números inteiros.
Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais (opção)
Sistemas lineares de equações diferenciais. Retrato de
fase, sistemas Hamiltonianos, teoria da estabilidade.
Aplicações a sistemas provenientes da Mecânica,
Economia, Biologia e
Engenharia.
Tópicos de Geometria e Topologia (opção)
Espaços topológicos. Compacidade. Espaços Hausdorff.
Conexidade.
Homotopia e grupo fundamental. Introdução às variedades.
Tópicos de Matemática
Introdução ao cálculo proposicional: conectivos,
fórmulas, valores de verdade, valorações, tautologias,
equivalências lógicas. Representação de conjuntos,
relações binárias, aplicações, famílias
de conjuntos, relações de equivalência, conjuntos
quociente. Conjuntos finitos e conjuntos infinitos, conjuntos
numeráveis e conjuntos não numeráveis, teorema de
Cantor. Princípio de indução e princípio de
indução completa. Conjuntos parcialmente ordenados:
elementos especiais, conjuntos bem
ordenados, Lema de Zorn.