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Definição e exemplos

Definição 6.1.1   Sejam $ V,W$ espaços vectoriais sobre $ {\mathbb{K}}$. Uma transformação linear ou aplicação linear de $ V$ em $ W$ é uma função $ T:V \rightarrow W$ que satisfaz, para $ u,v\in V,\alpha \in {\mathbb{K}}$,
  1. $ T(u+v)=T(u)+T(v)$;
  2. $ T(\alpha u)=\alpha T(u)$.

Para $ F,G:{\mathbb{R}}^2 \rightarrow {\mathbb{R}}^4$ definidas por

$\displaystyle F(x,y)=(x-y,2x+y,0,y)$

e

$\displaystyle G(x,y)=(x^2+y^2,1,\vert x\vert,y) ,$

tem-se que $ F$ é linear enquanto $ G$ não o é. De facto, para $ u_1=(x_1,y_1),u_2=(x_2,y_2)$ e $ \alpha \in {\mathbb{K}}$, temos $ F(u_1+u_2)=F(x_1+x_2,y_1+y_2)=(x_1+x_2-y_1-y_2,2x_1+2x_2+y_1+y_2,0,y_1+y_2)=(x_1-y_1,2x_1+y_1,0,y_1)+(x_2-y_2,2x_2+y_2,0,y_2)=F(u_1)+F(u_2)$, e $ F(\alpha u_1)=F(\alpha x_1,\alpha y_1)=(\alpha x_1-\alpha y_1,2\alpha x_1 + \alpha y_1,0,\alpha y_1)=\alpha (x_1-y_1,2x_1+y_1,0,y_1)=\alpha F(u_1)$, enquanto que $ G(-(1,1))=G(-1,-1)=((-1)^2+(-1)^2,1,\vert-1\vert,-1)=(2,1,1,-1)\ne -(2,1,1,1)=-G(1,1)$


Apresentamos alguns exemplos clássicos de transformações lineares:

  1. Sejam $ A \in \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ e $ T_A:{\mathbb{K}}^n \rightarrow {\mathbb{K}}^m$ definida por $ T_A(x)=Ax$. A aplicação $ T_A$ é uma transformação linear. Ou seja, dada uma matriz, existe uma transformação linear associada a ela. No entanto, formalmente são entidades distintas. Mais adiante, iremos ver que qualquer transformação linear está associada a uma matriz.
  2. Seja $ V=C^{\infty} ({\mathbb{R}})$ o espaço vectorial sobre $ {\mathbb{R}}$ constituído pelas funções reais de variável real infinitamente (continuamente) diferenciáveis sobre $ {\mathbb{R}}$. Seja $ D:V\rightarrow V$ definida por $ D(f)=f'$. Então, usando noções elementares de análise, é uma transformação linear.
  3. A aplicação $ F:{\mathbb{K}}_n[x] \rightarrow {\mathbb{K}}_{n-1}[x]$ definida por $ F(p)=p'$, onde $ p \in {\mathbb{K}}_ n[x]$ e $ p'$ denota a derivada de $ p$ em ordem a $ x$, é uma transformação linear.
  4. Sejam $ A \in \mathcal{M}_{n\times p}\left( {\mathbb{K}}\right)$ e $ F:\mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)\rightarrow \mathcal{M}_{m\times p}\left( {\mathbb{K}}\right)$ definida por $ F(X)=XA$. Usando as propriedades do produto matricial, $ F$ é uma transformação linear.
  5. A aplicação $ Trans : \mathcal{M}_{m\times n}\left( {\mathbb{K}}\right)\rightarrow \mathcal{M}_{n\times m}\left( {\mathbb{K}}\right)$ definida por $ Trans(A)=A^T$ é uma transformação linear.
  6. Seja $ V$ um espaço vectorial arbitrário sobre $ {\mathbb{K}}$. As aplicações $ I,O:V\rightarrow V$ definidas por $ I(v)=v$ e $ O(v)=0$ são transformações lineares. Denominam-se, respectivamente, por transformação identidade e transformação nula.

Definição 6.1.2   Seja $ T$ uma transformação linear do espaço vectorial $ V$ para o espaço vectorial $ W$.
  1. Se $ V=W$, diz-se que $ T$ é um endomorfismo de $ V$.

  2. A um homomorfismo injectivo de $ V$ sobre $ W$ chama-se monomorfismo de $ V$ sobre $ W$; a um homomorfismo sobrejectivo de $ V$ sobre $ W$ chama-se epimorfismo de $ V$ sobre $ W$; a um homomorfismo bijectivo de $ V$ sobre $ W$ chama-se isomorfismo de $ V$ sobre $ W$; a um endomorfismo bijectivo de $ V$ chama-se automorfismo de $ V$.

  3. $ V$ e $ W$ são ditos isomorfos, e representa-se por $ V \cong W$, se existir uma transformação linear de $ V$ em $ W$ que seja um isomorfismo.

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Pedro Patricio 2008-01-08