Universidade do Minho MiEB

Departamento de Matemática

Álgebra Linear C

folha vii 2007/2008

1. Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0\\ -8 &4 &-6\\ 8 &1 &9\end{array}\right]$.
   1. Calcule o polinómio característico de $A$.
   2. Use o comando poly(A) para confirmar o resultado que obteve na alínea anterior.
   3. Calcule os valores próprios de $A$.
   4. Confirme os resultados obtidos na alínea anterior usando o comando [v,e] = eig(A).

   5. Compare o determinante de $A$ com o produto dos seus valores próprios.
   6. Compare o traço¹ de $A$ com a soma dos seus valores próprios.
   7. Calcule os valores próprios de $A^2$, fazendo

       > eig(A^2)
      

      e compare-os com os quadrados dos valores próprios de $A$.
   8. Seja $U$ a matriz cujas colunas são os vectores próprios linearmente independentes. Por exemplo, pode tomar $U$ como a matriz v da alínea (d). Calcule $U^{-1}AU$.
   9. Troque duas colunas da matriz $U$ descrita na alínea anterior e efectue, de novo, o produto $U^{-1}AU$. Comente o resultado obtido.

2. Considere a matriz B = [1,-1; 1,1].
   1. Calcule o polinómio característico e mostre que $B$ não tem valores próprios reais.
   2. Compare o determinante de $B$ com o produto dos seus valores próprios.
   3. Compare o traço de $B$ com a soma dos seus valores próprios.
   4. Calcule os valores próprios de $B^2$ compare-os com os quadrados dos valores próprios de $B$.
   5. Seja $U$ a matriz cujas colunas são os vectores próprios linearmente independentes. Calcule $U^{-1}BU$.
   6. Troque duas colunas da matriz $U$ descrita na alínea anterior e efectue, de novo, o produto $U^{-1}BU$. Comente o resultado obtido.

3. Considere a matriz C=[2 1 0; 0 2 0; 0 0 3].
   1. Calcule o polinómio característico e os valores próprios (e a sua multiplicidade algébrica).
   2. Calcule a dimensão dos respectivos espaços próprios.
   3. Compare as multiplicidades algébrica e geométrica.
   4. Mostre que a matriz não é diagonalizável.

4. Mostre que
   1. se $\lambda$ é valor próprio de $A$ então $\lambda^k$ é valor próprio de $A^k$;
   2. uma matriz nilpotente não tem valores próprios não nulos.

5. Mostre que duas matrizes semelhantes têm o mesmo espectro.

6. Para cada uma das seguintes matrizes, calcule os valores próprios e os respectivos espaços próprios (indicando uma base para os espaços próprios).

   (a) $\left[\begin{array}{cc} 4 & -5\\ 2 & -3 \end{array}\right]$	(b) $\left[\begin{array}{cc} 2 & 1\\ -1 & 0 \end{array}\right]$	(c) $\left[\begin{array}{cc} 0 & 1\\ -1 & 0 \end{array}\right]$
   (d) $\left[\begin{array}{cc} 1 & 1\\ 0 & 1 \end{array}\right]$	(e) $\left[\begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0\\ -1 & 2 & -1\\ 0 & -1 & 1\end{array}\right]$	(f) $\left[\begin{array}{ccc} 3 & 2 & 4\\ 2 & 0 & 2\\ 4 & 2 & 3\end{array}\right]$
   (g) $\left[\begin{array}{ccc} -3 & 1 & -1\\ -7 & 5 & -1\\ -6 & 6 & -2\end{array}\right]$	(h) $\left[\begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1\\ 2 & 3 & 2\\ 3 & 3 & 4\end{array}\right]$

7. Calcule $\left[\begin{array}{cc} 3 & 4\\ 5 & 2 \end{array}\right]^9$.

8. Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{ccc} 8&1&3\\ 0 & -3 & -6\\ 0 & 1 & 2 \end{array}\right]$.
   1. Determine os valores próprios de $A$.
   2. Determine os vectores próprios de $A$ e diagonalize $A$.
   3. Usando o resultado da alínea $(b)$, determine uma matriz $B$ tal que $B^3=A$.

9. Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{cc} 2&3\\ 3&2 \end{array}\right]$.
   1. Verifique que $5,-1$ são os valores próprios de $A$.
   2. Verifique se $\left[\begin{array}{c} -1\\ 1\end{array}\right]$ é vector próprio associado ao valor próprio $-1$ e se $\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array}\right]$ é vector próprio associado ao valor próprio 5.
   3. Diga, justificando, se a matriz $\left[\begin{array}{cc} -1&1\\ 1&1\end{array}\right]$ é invertível, e caso afirmativo calcule a sua inversa.
   4. Diga, justificando, se a matriz $A$ é diagonalizável, e caso afirmativo, diagonalize-a.

10. Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ 2&1 \end{array}\right]$.
    1. Verifique que $3,-1$ são os valores próprios de $A$.
    2. Verifique se $\left[\begin{array}{c} 1\\ 1\end{array}\right]$ é vector próprio associado ao valor próprio 3 e se $\left[\begin{array}{c} -1\\ 1\end{array}\right]$ é vector próprio associado ao valor próprio -1.
    3. Diga, justificando, se a matriz $\left[\begin{array}{cc} 1&-1\\ 1&1\end{array}\right]$ é invertível, e caso afirmativo calcule a sua inversa.
    4. Diga, justificando, se a matriz $A$ é diagonalizável, e caso afirmativo, diagonalize-a.

11. Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{cc} 2&-2\\ 2&-3 \end{array}\right]$.
    1. Verifique que $1,-2$ são os valores próprios de $A$.
    2. Verifique se $\left[\begin{array}{c} 2\\ 1\end{array}\right]$ é vector próprio associado ao valor próprio $1$ e se $\left[\begin{array}{c} 1\\ 2\end{array}\right]$ é vector próprio associado ao valor próprio $-2$.
    3. Diga, justificando, se a matriz $\left[\begin{array}{cc} 2&1\\ 1&2\end{array}\right]$ é invertível, e caso afirmativo calcule a sua inversa.
    4. Diga, justificando, se a matriz $A$ é diagonalizável, e caso afirmativo, diagonalize-a.

12. Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{cc} 1&2\\ 2&-2 \end{array}\right]$.
    1. Verifique que $2,-3$ são os valores próprios de $A$.
    2. Verifique se $\left[\begin{array}{c} -1\\ 2\end{array}\right]$ é vector próprio associado ao valor próprio $-3$ e se $\left[\begin{array}{c} 2\\ 1\end{array}\right]$ é vector próprio associado ao valor próprio 2.
    3. Diga, justificando, se a matriz $\left[\begin{array}{cc} -1&2\\ 2&1\end{array}\right]$ é invertível, e caso afirmativo calcule a sua inversa.
    4. Diga, justificando, se a matriz $A$ é diagonalizável, e caso afirmativo, diagonalize-a.

13. Dada a matriz real $A=\left[\begin{array}{cc} 1&0 \\ 1 &1\end{array}\right]$,
    1. calcule os valores próprios e respectivos espaços próprios;
    2. verifique que a matriz dada não é diagonalizável.