Universidade do Minho MiEB

Departamento de Matemática

Ãlgebra Linear C

folha vi 2007/2008

1. Diga quais dos conjuntos seguintes são subespaços vectoriais do espaço vectorial real $\mathbb{R}^{4}:$
   1. $W_{1}=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb{R}^{4}:x_{1}-x_{2}=0$ e $%% x_{2}+2x_{4}=0\}.$

   2. $W_{2}=\{(0,a,b,-1):a,b\in \mathbb{R}\}.$

   3. $W_{3}=\{(0,0,0,0),(0,0,0,1)\}.$

   4. $W_{4}=\{(x_{1},x_{2},x_{3},x_{4})\in \mathbb{R}^{4}:x_{2}\in \mathbb{Q}\}.$

      
      

2. Considere, no espaço vectorial real $\mathbb{R}^{3}$, os vectores

   $v_{1}=(1,-1,1),$      $v_{2}=(2,1,-2),$      $u_{1}=(-1,0,1),$      $%% u_{2}=(1,0,0)$,      $u_{3}=(1,0,1)$.

   Verifique se

   1. $(1,-4,5)$ é combinação linear de $v_{1},v_{2}$.

   2. $(1,2,1)$ é combinação linear de $v_{1},v_{2}$.

   3. $(3,0,2)$ é combinação linear de $u_{1},u_{2},u_{3}$.

   4. $(0,2,1)$ é combinação linear de $u_{1},u_{2},u_{3}$.

3. Verifique se $(2,5,-3)\in \langle (1,4,-2),(-2,1,3)\rangle$.

4. Determine $\alpha,\beta$ de forma a que $(1,1,\alpha, \beta) \in \langle (1,0,2,1),(1,-1,2,2) \rangle$.

5. Diga quais dos seguintes conjuntos de vectores são linearmente dependentes:
   1. $\{(0,1,1,0),(-1,0,1,1),(1,1,0,-1)\}$ no espaço vectorial real $%% \mathbb{R}^{4}$.

   2. $\{(1,2,1),(-2,3,1)\}$ no espaço vectorial real $\mathbb{R}^{3}$.

   3. $\{(0,1),(1,2),(2,3)\}$ no espaço vectorial real $\mathbb{R}^{2}$.

   4. $\{x^{2}+x,x^{2}+1,x,x^{3}\}$ no espaço vectorial real $\mathbb{R}%% _{3}[x]$.

   5. $\{g_{1},g_{2},g_{3},g_{4}\}$ no espaço vectorial real $\mathbb{R}^{%% \mathbb{R}}$ onde

      $$\begin{array}{ll} g_{1}: & \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \\ & x\mapsto \cos ^{2}x \end{array}$$,          $$\begin{array}{ll} g_{2}: & \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \\ & x\mapsto \sin ^{2}x \end{array}$$,          $$\begin{array}{ll} g_{3}: & \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \\ & x\mapsto x+1 \end{array}$$,          $$\begin{array}{ll} g_{4}: & \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R} \\ & x\mapsto 1 \end{array}$$

6. Considere os seguintes subespaços vectoriais do espaço vectorial real $\mathbb{R}^{3}$:

   $$\begin{array}{ll} V_{1}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}^{3}:z=0\}, &... ...\}, & V_{4}=\{(x,y,z)\in \mathbb{R}%% ^{3}:x+y=0\}. \end{array}$$        $\qquad$

   Indique a dimensão e uma base para cada um deles.

7. Considere, no espaço vectorial real $\mathbb{R}^{4}$, os subespaços

   $U=\{(a_{1},a_{2},a_{3},a_{4})\in \mathbb{R}^{4}:a_{1}-a_{4}=0,a_{4}-a_{3}=0\}$

   $W_{1}=\{(b_{1},b_{2},b_{3},b_{4})\in \mathbb{R}%% ^{4}:b_{2}+2b_{3}=0,b_{1}+2b_{3}-b_{4}=0\}$

   $W_{2}=<(1,1,1,0),(-1,1,0,1),(1,3,2,1),(-3,1,-1,2)>$.

   1. Diga, justificando, se $\{(1,1,1,1),(0,1,0,0),(1,0,0,1)\}$ é uma base de $U$.

   2. Determine uma base de         i. $W_{1}.$         ii. $W_{2}$.

8. Considere os seguintes vectores do espaço vectorial real $\mathbb{R}%% ^{3}:$

                    $v_{1}=(\alpha ,6,-1),$ $v_{2}=(1,\alpha ,-1)$, $%% v_{3}=(2,\alpha ,-3)$.

   1. Determine os valores do parâmetro real $\alpha$ para os quais o conjunto $\{v_{1},v_{2},v_{3}\}$ é uma base de $\mathbb{R}^{3}$.

   2. Para um dos valores de $\alpha$ determinados na alínea anterior, calcule as coordenadas do vector $v=(-1,1.2)$ em relação à base $%% \{v_{1},v_{2},v_{3}\}$.

9. Considere os seguintes elementos de ${\mathbb{R}}^3$:
   $$v_1=(1,0,2),v_2=(1,-1,1),v_3=(0,-1,1),v_4=(1,-\frac{1}{2},\frac{3}{2}).$$
   Verifique se $\langle v_1,v_2 \rangle =\langle v_3,v_4 \rangle .$

10. Considere os elementos de ${\mathbb{R}}^3$: $v_1=(2,-3,1),v_2=(0,1,2),v_3=(1,1,-2).$
    1. Mostre que são uma base de ${\mathbb{R}}^3$.
    2. Determine as coordenadas de $(3,2,1)$ relativamente a esta base.

11. Mostre que os vectores $(a,b),(c,d)$ são uma base de ${\mathbb{R}}^2$ se e só se $ad-bc \ne 0$.

12. Considere os seguintes subespaços de ${\mathbb{R}}^4$:
    $$\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4): x_1+x_2=0\right\} , \left\{(x_1,x_2,x_3,x_4): x_2=0 \right\} ,$$
    $$\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1+x_2+x_3+x_4=0 \right\}.$$
    Para cada um deles, determine a dimensão e indique uma base.

13. Considere os seguintes subespaços de ${\mathbb{R}}^4$:
    $$F=\left\{(x_1,x_2,x_3,x_4):x_1=x_3 \wedge x_4=2x_2 \right\}, G= \langle (1,0,1,0),(0,2,0,1),(-1,2,-1,1) \rangle .$$
    Determine a dimensão e indique uma base para $F$ e para $G$.

14. Encontre uma base para o espaço das colunas das matrizes seguintes:
    1. $\left[\begin{array}{ccc}2 & 8 & -2\\ 1 &-17 & 6\\ 9 & 6 & 1\end{array}\right]$
    2. $\left[\begin{array}{cccc} 3 & -4 &0 &4\\ 2 & 4 &-2 & 0\\ 3 &-2 &4 &-4\end{array}\right]$.
    3. $\left[\begin{array}{ccccc} 0 &-7 & 3 & -8 & -1\\ -1 & 6 &-8 &-2 & 3\\ 0 & 0 & 0 & 5 & -8\end{array}\right]$

15. Indique, justificando convenientemente, o valor lógico da seguinte afirmação:

    ``Se as colunas da matriz quadrada $A$ são linearmente independentes, então as colunas de $A^{2}$ são também elas linearmente independentes.''

16. Seja $A\in \mathcal{M}_{n}\left( \mathbb{R}\right)$. Mostre que
    1. se $A^{2}=A$ e $car(A)=n$ então $A=I_{n}$;

    2. se $A^{2}=A$ então $CS(A)\cap N(A)=\{0\}$.

17. Calcule a projecção ortogonal do vector $(2,-1,1)$ sobre o espaço gerado por $(1,1,1),(0,1,3)$.

18. Para $A=\left[\begin{array}{ccc} 1& -3& 2\\ 4 & 10 & -1\end{array}\right]^T$ e $b= \left[\begin{array}{ccc}5&7&10\end{array}\right]^T$, determine a solução no sentido dos mínimos quadrados de $Ax=b$.

19. Determine a solução no sentido dos mínimos quadrados de
    1. $\left\{ \begin{array}{rcl} x_1&=&1\\ x_2&=&1\\ x_1+x_2&=&0 \end{array}\right.$

    2. $\left\{ \begin{array}{rcl} x_1+2x_2&=&1\\ 2x_1+5x_2&=&0\\ 3x_1+7x_2&=&2 \end{array}\right.$

20. Considere a matriz $A=\left[\begin{array}{cc} 1&1\\ 1 & 0\\ 0 & 1\\ 1 & 1 \end{array}\right]$.
    1. Calcule a projecção ortogonal de $b=\left[\begin{array}{cccc} 4&5&-1&4 \end{array}\right]^T$ sobre $CS(A)$.
    2. O que pode dizer sobre o sistema $Ax=b$?