Universidade do Minho MiEB

Departamento de Matemática

Ãlgebra Linear C

folha v 2007/2008

1. Resolva os seguintes sistemas de equações lineares:
   1. $\left\{ \begin{array}{lll} 3x_1-x_2+x_3 & = & -1\\ 9x_1-2x_2+x_3 & = & -9\\ 3x_1+x_2-2x_3&=&-9 \end{array}\right.$

   2. $\left\{ \begin{array}{lll}2x_1+x_2+2x_3+x_4&=&5\\ 4x_1+3x_2+7x_3+3x_4&=&8\\ -8x_1-x_2-x_3+3x_4&=&4\\ 6x_1+x_2+2x_3-x_4&=&1\end{array}\right.$

   3. $\left\{ \begin{array}{lll} 2x-3y&=&-1\\ -4x-6y&=&-2\\ 12x-18y&=&-6 \end{array}\right.$

   4. $\left\{ \begin{array}{lll}-x_1-x_2+2x_3&=&-5\\ -3x_1-x_2+7x_3&=&-22\\ x_1-3x_2-x_3&=&10 \end{array}\right.$
   5. $\left\{ \begin{array}{lll} x_1+x_2+x_3&=&1\\ x_1-x_3&=&2 \end{array}\right.$
   6. $\left\{ \begin{array}{lll} x_1+x_2+x_3 &=&2\\ 2x_1+x_2+x_3 &=& 3\\ 3x_1+x_2+x_3 &=&4 \end{array}\right.$

2. Determine $\beta \in {\mathbb{R}}$ de modo que o sistema
   $$\left\{\begin{array}{lll} \beta x-y+\beta z&=&0\\ -2\beta y -2z &=&0\\ x-y+\beta z &=&0 \end{array}\right.$$
   seja determinado.

3. Determine todas as matrizes $X\in \mathcal{M}_{3 \times 4}\left( {\mathbb{R}}\right)$ tais que $AX=0$, com
   $$A= \left[\begin{array}{rrr} 1&-2&3\\ -2&5&-6\\ 2&-3&6 \end{array}\right].$$

4. Encontre os valores do parâmetro $k\in {\mathbb{R}}$ para os quais o sistema
   $$\left\{ \begin{array}{lll}x-2y+3z&=&1\\ 2x+ky+6z&=&6\\ -x+3y+(k-3)z&=&0 \end{array}\right.$$
   seja
   1. Possível determinado;
   2. Possível indeterminado;
   3. Impossível.

5. Resolva $AX=B$, com
   $$A=\left[\begin{array}{rr}4&1\\ 3&1 \end{array}\right], \, B=\left[\begin{array}{rr}1&2\\ -1&3\end{array}\right].$$

6. Usando o algoritmo de Gauss-Jordan, calcule, se possível, a inversa de
   $$A=\left[\begin{array}{rr}3&4\\ 1&1 \end{array}\right], \, B=\left... ...t[\begin{array}{rrrr} 1&1&2&2\\ 0&1&0&2\\ 3&3&4&4\\ 0&3&0&4 \end{array}\right].$$