Universidade do Minho MiEB

Departamento de Matemática

Álgebra Linear C

folha iv 2007/2008

1. Introduza o comando

   A=fix(30*rand(3,3)-15);
   

   Responda às alíneas seguintes para várias escolhas de $A$.
   1. Descreva o output de Ainf=tril (A) e de Asup=triu (A)
   2. Calcule e comente o resultado de det(Ainf) e de det(Asup).
   3. Troque duas linhas de $A$ e compare o determinante da matriz obtida com $\vert A\vert$. Repita o exercício fazendo trocas de colunas.
   4. Substitua uma linha/coluna de $A$ pela linha nula e calcule o determinante da matriz obtida.

   5. Multiplique uma linha por um escalar não nulo e compare o determinante da matriz obtida com $\vert A\vert$. Repita o exercício multiplicando uma coluna por um escalar não nulo.
   6. A uma linha de $A$ some-lhe outra multiplicada por um escalar não nulo. Compare o determinante da matriz obtida com $\vert A\vert$. Repita o exercício fazendo a operação elementar por colunas.

   7. Use [L,U,P]=lu (A) para obter a factorização $PA=LU$. Compare $\vert A\vert$ com $\vert U\vert$.
   8. O que pode conjecturar sobre a relação entre $\vert 2A\vert$ e $2\vert A\vert$? Teste a validade da sua conjectura.

2. Introduza as matrizes A=[1,-3,1; 2,-4,2; 2,2,-3]; B=[ -10 2 -3; -1 9 14; -6 5 8];.
   1. Introduza os comandos

      [l,u,p]=lu (B)
      u(1,1)*u(2,2)*u(3,3)
      u(1,1)*u(2,2)*u(3,3)-det(B)
      

      Interprete os comandos introduzidos e os resultados obtidos.
   2. Repita a alínea anterior para as matrizes $A$ e $AB$.
   3. Compare $\vert A\vert\vert B\vert$ e $\vert AB\vert$.
   4. Verifique que $A$ é não singular. Relacione $\vert A\vert$ com $\vert A^{-1}\vert$.
   5. Verifique se $\det(A+B)=\det A + \det B$.
   6. Verifique que $\vert A^T\vert=\vert A\vert$.

3. Considere as matrizes A=[2 -6 0 6;5 -7 8 2;-3 -2 4 1;5 -1 4 -1]; B=[4 20 -29 25;3 13 -24 13 ;1 5 -7 4;5 25 -35 21]; .
   1. Mostre que $A,B$ são não-singulares.
   2. Compare $\vert A\vert\vert B\vert$ e $\vert AB\vert$.
   3. Relacione $\vert A\vert$ com $\vert A^{-1}\vert$.
   4. Relacione $\vert B\vert$ com $\vert B^{-1}\vert$.
   5. Considere $C=B^{-1}AB$. Compare $\vert C\vert$ com $\vert A\vert$. Que resultado pode conjecturar?
   6. Verifique se $\det(A+B)=\det A + \det B$.
   7. Verifique que $\vert A^T\vert=\vert A\vert$ e que $\vert B^T\vert=\vert B\vert$.

4. Considere as matrizes definidas aleatoriamente pelos comandos

   > R=fix(-10+rand(7)*20);
   > S=fix(-10+rand(7)*20);
   > P=fix(-10+rand(4)*20);
   

   1. Calcule e compare, para várias escolhas, $\vert R\vert\vert S\vert$ e $\vert RS\vert$. O que pode inferir?
   2. Calcule e compare, para várias escolhas, $\vert R+S\vert$ e $\vert R\vert+\vert S\vert$. O que pode concluir?

5. Construa uma função, adjunta, que, dada uma matriz quadrada, devolva a sua adjunta. Fazendo uso dessa função,
   1. para C=[ -0 -3 3 4; 0 -1 -0 -3; 2 -4 -4 -0; -4 -2 1 -4];, determine
      C*adjunta(C)/det(C); que pode observar?
   2. para A=[ 2 2 -0 -3; 2 -0 -1 -2; 4 -3 -1 4; -3 0 4 -1];, determine
      A*adjunta(A); que pode observar?
   3. para B=[ -2 3 -2 2; -4 3 -1 2; -2 -4 3 -1; 3 -1 3 -2];, determine
      B*adjunta(B); o que pode observar?

6. $^\dag$ Calcule o determinante das matrizes seguintes:

   (a) $\left[\begin{array}{cc} 5 & 2 7 & 3\end{array}\right]$	(b) $\left[\begin{array}{cc} 1 & 2 3 & 4\end{array}\right]$	(c) $\left[\begin{array}{cc} 3 & 2 8 & 5\end{array}\right]$	(d) $\left[\begin{array}{cc} 6 & 9 8 & 12\end{array}\right]$
   (e) $\left[\begin{array}{cc} a^2 & ab ab & b^2\end{array}\right]$	(f) $\left[\begin{array}{cc} n+1 & n n & n-1\end{array}\right]$	(g) $\left[\begin{array}{cc} a+b & a-b a-b & a+b\end{array}\right]$	(h) $\left[\begin{array}{cc} 1 & \text{i} 1 & \i\end{array}\right]$
   (i) $\left[\begin{array}{cc} a & c+d \text{i} c-d \text{i}& b\end{array}\right]$	(j) $\left[\begin{array}{cc} a+b \text{i}& b 2a & a-b \text{i}\end{array}\right]$	(k) $\left[\begin{array}{cc} \cos \alpha & -\sin \alpha \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right]$	(l) $\left[\begin{array}{cc} 1 & \text{i} - \text{i}& 1\end{array}\right]$

7. $^\dag$ Use o teorema de Laplace para calcular o determinante das seguintes matrizes:
   1. $\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 5 & 1 & 2 7 & 1 & 1\end{array}\right]$.
   2. $\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 2 2 & 1 & 1 2 & 3 & 3\end{array}\right]$.
   3. $\left[\begin{array}{cccc} 0 & 0 & 1 & 1 1 & 5 & 1 & 2 0&1&1&1 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right]$.

8. $^\dag$ Se $A$ é uma matriz simétrica, mostre que $\det\left( A+B \right)=\det\left(A+B^T \right)$, para qualquer matriz $B$ com a mesma ordem de $A$.

9. $^\dag$ Uma matriz $A$ é anti-simétrica se $A^T=-A$. Mostre que, para $A\in \mathcal{M}_{n}\left( {\mathbb{K}}\right)$ com $n$ ímpar e $A$ anti-simétrica, se tem $\det A=0$.