Universidade do Minho MiEB

Departamento de Matemática

Álgebra Linear C

folha iii 2007/2008

1. Introduza a matriz A=[1,-3,1; 2,-4,2; 2,2,-3].
   1. Introduza os comandos

       E1=eye(3)
       E1(2,:)=-2*E1(1,:) + E1(2,:)
       A1=E1*A
      

      Explique como se obteve E1 à custa das linhas de $I_3$ , e como se obteve A1 à custa das linhas de $A$ .
   2. Efectue os passos seguintes do Algoritmo de Eliminação de Gauss para obter a matriz escada $U$ equivalente por linhas a $A$ .
   3. Use as matrizes elementares de (a) para construir a matriz $V$ tal que $VA=U$ . Diga por que razão $V$ é invertível.
   4. Use a alínea anterior para determinar $L$ triangular inferior tal que $A=LU$ .
   5. Indique a característica da matriz $A$ . Diga, justificando, se a matriz é invertível.

2. Introduza a matriz B=[4,2,2,-2; 2,0,5,1; -2,-3,5,4].
   1. Efectue os passos do Algoritmo de Eliminação de Gauss para obter a matriz escada $U$ equivalente por linhas a $B$ . Identifique os pivots.
   2. Use as matrizes elementares de (a) para construir a matriz $V$ tal que $VB=U$ . Diga por que razão $V$ é invertível.
   3. Encontre a decomposição $LU$ de $B$ .
   4. Indique a característica da matriz $B$ .

3. Introduza a matriz C=[1,2,3; -2,-1,-5; -1,4,-3; 2,1,1].
   1. Efectue os passos do Algoritmo de Eliminação de Gauss para obter a matriz escada $U$ equivalente por linhas a $C$ .
   2. Use as matrizes elementares de (a) para construir a matriz $V$ tal que $VC=U$ . Diga por que razão $V$ é invertível.
   3. Indique a característica da matriz $C$ .

4. Introduza a matriz G=[0,3,-2; -1,3,0; 2,3,-5].
   1. Efectue os passos do Algoritmo de Eliminação de Gauss para obter a matriz escada $U$ equivalente por linhas a $G$ .
   2. Use as matrizes elementares de (a) para construir uma matriz $V$ tal que $VG=U$ . Diga por que razão $V$ é invertível. Verifique se $V$ é triangular inferior.
   3. Indique a característica da matriz $G$ .

5. Calcule a característica das matrizes seguintes, fazendo uso do Algoritmo de Eliminação de Gauss.
   

   $$A = \left[\begin{array}{ccc}6&3&-4\\ 1&2&5\\ 3&2&1 \end{array}\right]... ...&-3&2&2 \end{array}\right], C=\left[\begin{array}{ccc}0&0&0 \end{array}\right],$$

   $$D = \left[\begin{array}{ccc} 4&3&1\\ 1&1&0\\ 2&3&1\\ 3&6&-2\end{array... ...[\begin{array}{ccc} 0&1&2\\ 1&2&3\\ 1&3&6\\ 2&6&11\\ 0&-1&-3\end{array}\right].$$

   
   

6. Determine $k\in {\mathbb{R}}$ por forma que a característica da matriz
   $$F=\left[\begin{array}{cccc} 1&1&1&1\\ 2&-1&2&1\\ 1&2&1&k \end{array}\right]$$
   seja inferior a $3$ .