Universidade do Minho MiEB

Departamento de Matemática

Álgebra Linear C

folha ii 2007/2008

1. A matriz real $A$ do tipo $3\times 4$ foi gerada aleatoriamente no Octave pela instrução

   > A=fix(100*rand(3,4)-50);
   

   Calcule $(A^T)^T$ , $AA^T$ e $A^TA$ , para várias escolhas de $A$ . O que pode conjecturar? Tente provar essas afirmações.

2. Considere as matrizes $A,B$ geradas no Octave pelos comandos

   > A=fix(100*rand(4,4)-50);  B=fix(100*rand(4,4)-50);
   

   1. Após calcular, para várias escolhas de $A$ e $B$ , as matrizes $(AB)^T,A^TB^T$ e $B^TA^T$ , o que pode inferir?
   2. Compare $A^5B^5$ com $(AB)^5$ , para várias escolhas de $A$ e $B$ . O que pode concluir?
   3. Compare $A^2+2AB+B^2$ com $(A+B)^2$ , para várias escolhas de $A$ e $B$ . O que pode concluir?
   4. Compare $A^2-B^2$ com $(A+B)(A-B)$ , para várias escolhas de $A$ e $B$ . O que pode concluir?
   5. Indique o valor lógico das afirmações seguintes, justificando:
      1. Se $A,B$ são matrizes quadradas das mesma ordem então $(AB)^n=A^nB^n$
      2. Se $A,B$ são matrizes quadradas das mesma ordem então $(A+B)^2=A^2+2AB+B^2$
      3. Se $A,B$ são matrizes quadradas das mesma ordem então $A^2-B^2=(A+B)(A-B)$

3. As matrizes $D_1,D_2$ do tipo $4\times 4$ foram geradas aleatoriamente no Octave através das instruções

   > d=fix(100*rand(1,4)-50);
   > D1=diag(d);
   > d=fix(100*rand(1,4)-50);
   > D2=diag(d);
   

   Para várias escolhas de $D_1$ e $D_2$ , calcule e procure inferir algo sobre
   1. $D_1^4$ .
   2. $D_1D_2$ e $D_2D_1$

4. Para
   $$A=\left[\begin{array}{cccc} 0&1&0&0\\ 0&0&1&0\\ 0&0&0&1\\ 0&0&0&0 \end{array}\right],$$
   calcule $A^n$ , com $n >1$ .

5. Sejam $E,P,D$ as matrizes $3\times 3$ definidas por

   > I3=eye(3);
   > E=I3; E(3,1)=-2;
   > P=I3; P(1,:)=I3(2,:); P(2,:)=I3(1,:);
   > D=I3; D(2,2)=2;
   

   1. Descreva como foram obtidas à custa das linhas/colunas da matriz $I_3$
   2. Indique a inversa de cada uma.
   3. Considere $A=\left[\begin{array}{ccc} 3 &2 &-1\\ 8 & 3 & 3\\ -2 & -1 & -7\end{array}\right]$ . Faça os produtos $DA,EA,PA$ . Relacione-as com $A$ . Recorde o que fez na alínea (a).
   4. Repita a alínea anterior, mas agora com os produtos $AD,AE,AP$ .

6. Considere as matrizes $E_{21}(-2),E_{31}(-1), E_{32}(2)$ do tipo $3\times 3$ . Considere ainda a matriz $A=\left[\begin{array}{ccc} 5 &1 &-3\\ 8 & 0 &-4\\ 3 & 0 & 10\end{array}\right]$ .
   1. Relacione os produtos $E_{21}(-2)A,E_{31}(-1)A, E_{32}(2)A$ e os produtos $AE_{21}(-2)$ , $AE_{31}(-1)$ e $AE_{32}(2)$ com $A$ .
   2. Indique uma matriz $P_1$ tal que $P_1A=\left[\begin{array}{ccc} 5 &1 &-3\\ 3 & 0 & 10\\ 8 & 0 &-4\end{array}\right]$ . Verifique no Octave.
   3. Indique uma matriz $P_2$ tal que $AP_2=\left[\begin{array}{ccc} 1 &5 &-3\\ 0 & 8 &-4\\ 0 & 3 & 10\end{array}\right]$ . Verifique no Octave.
   4. Indique uma matriz $D_1$ tal que $D_1A$ é a matriz obtida de $A$ cuja segunda linha surge dividida por 2. Verifique no Octave.

   5. Indique uma matriz $D_2$ tal que $AD_2$ é a matriz obtida de $A$ cuja terceira coluna surge multiplicada por 4. Verifique no Octave.

7. Considere a matriz A=[8 2 3; 4 3 2; 1 -2 1].
   1. Calcule $B=E_{21}(-\frac{1}{2})A$ .
   2. Indique uma matriz elementar da forma $E_{ij}(\alpha)$ tal que $C=E_{ij}(\alpha)B$ seja uma matriz com as entradas $(2,1)$ e $(3,1)$ nulas, onde $i=1,2$ .
   3. Indique uma matriz elementar $E$ tal que $EC$ é uma matriz triangular superior.
   4. Indique uma matriz invertível $K$ triangular inferior tal que $KA$ é triangular superior.
   5. Mostre existe uma matriz triangular superior $U$ e $L$ triangular inferior invertível para as quais $A=LU$ .
   6. Conclua que a matriz $A$ é invertível.

8. Considere a matriz A=[2 4 3; -1 4 0; 3 1 1].
   1. Indique uma matriz invertível $K$ triangular inferior tal que $KA$ é triangular superior.
   2. Mostre existe uma matriz triangular superior $U$ e $L$ triangular inferior invertível para as quais $A=LU$ .
   3. Conclua que a matriz $A$ é invertível.

9. Considere a matriz A=[0 2 1; -1 2 1; 1 0 1]
   1. Indique uma matriz $P$ tal que P*A=[ -1 2 1; 0 2 1; 1 0 1].
   2. Indique uma matriz invertível $K$ triangular inferior tal que $KPA$ é triangular superior.
   3. Mostre existe uma matriz triangular superior $U$ e $L$ triangular inferior invertível para as quais $PA=LU$ .
   4. Conclua que a matriz $A$ é invertível.

10. 1. Mostre que $E_{31}(2)P_{23}=P_{23}E_{21}(2)$ .
    2. Mostre que $E_{32}(1)P_{13}=P_{13}E_{12}(1)$ .
    3. Indique uma matriz permutação $P$ e uma matriz elementar da forma $E_{ij}(\alpha)$ para as quais $E_{21}(-3)P_{23}=PE_{ij}(\alpha)$ .
    4. Indique uma matriz permutação $P$ e uma matriz elementar da forma $E_{ij}(\alpha)$ para as quais $P_{32}E_{21}(-1)=E_{ij}(\alpha)P$ .

11. Considere a matriz A=[1 2 3; 2 4 7; -1 1 2].
    1. Indique uma matriz $K$ , à custa de produtos de matrizes elementares, tal que $KA$ é triangular superior.
    2. Deduza que $A$ é invertível.
    3. Factorize $K=\tilde P E$ , onde $\tilde P$ é uma matriz permutação e $E$ é triangukar inferior.
    4. Mostre existe uma matriz permutação $P$ , uma triangular superior $U$ e $L$ triangular inferior invertível para as quais $PA=LU$ .

12. Encontre uma factorização da forma $PA=LU$ para A=[0 1 0 2; 0 -1 0 2; 1 0 0 1].

13. $^\dag$ Sejam $A,B$ matrizes $2 \times 2$ reais tais que
    $$AB-BA= \left[\begin{array}{cc} a & b\\ c&d \end{array}\right].$$
    Mostre que $a+d=0$ .

14. $^\dag$ Indique todas as matrizes $X,Y$ reais $2 \times 2$ para as quais, simultaneamente,
    $$X+Y= \left[\begin{array}{cc} 1&0\\ 1 &0 \end{array}\right]{\text { e }} X-Y= \left[\begin{array}{cc} 0&1\\ 0 &0 \end{array}\right].$$

15. $^\dag$ Seja $A$ uma matriz $m \times n$ tal que $AB=0$ , para todas as matrizes $B$ do tipo $n\times 1$ . Mostre que $A=0$ .

16. $^\dag$ Seja
    $$\mathcal{G} = \left\{ \left[\begin{array}{cc} a&b\\ -b&a \end{array}\right]: a,b \in {\mathbb{R}}\right\} .$$
    1. Mostre que $A,B \in \mathcal{G} \Rightarrow AB \in \mathcal{G}$ .
    2. Mostre que quaisquer dois elementos de $\mathcal{G}$ comutam entre si.

17. $^\dag$ Calcule $\left[\begin{array}{cc} 17&-6\\ 35&-12\end{array}\right]^ 3$ , sabendo que
    $$\left[\begin{array}{cc} 17&-6\\ 35&-12\end{array}\right]=\left[\b... ...0 & 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} -7& 3\\ 5& -2\end{array}\right].$$

18. $^\dag$ Seja $N$ uma matriz $n \times n$ nilpotente, i.e., existe $k \in {\mathbb{N}}$ tal que $N^k =0$ .
    1. Mostre que $N$ não é invertível.
    2. Mostre que
       $$\l ( I_n -N \r)^{-1} = I_n + \sum_{i=1}^{k-1} N^i.$$

    3. Se $A$ e $N$ comutam entre si, mostre que $I_n +AN$ é invertível.