Universidade do Minho MiEB

Departamento de Matemática

Álgebra Linear C

folha i 2007/2008

Suponha que $A$ é uma matriz real com as dimensões apropriadas.

> A(1,2) % indica a entrada (1,2) de A
> A(2,:) % mostra a segunda linha de A
> A(:,3) % mostra a terceira coluna de A
> A(2:4,:) % mostra da segunda à quarta linhas de A
> A(1:2:5,:) % mostra a primeira, a terceira e a quinta linhas de A
> A([1,5],:) % mostra a primeira e quinta linhas de A
> A' % mostra a transposta de A

1. Seja $A$ a matriz real dada por
   $$\left[\begin{array}{ccccc} 6 & 19 &21 &-9 & -22\\ 13 &-7 &-18 &-24 & 6\\ 6 & 3 & 14 & 17 & 20 \end{array}\right].$$
   Instrua o Octave por forma a exibir, relativamente a $A$ ,
   1. toda a matriz
   2. o elemento (3,5)
   3. a segunda linha
   4. a quinta coluna
   5. a primeira e a quarta colunas
   6. a primeira, a segunda e a quinta colunas
   7. os elementos que estão simultaneamente nas duas primeiras linhas e colunas
   8. os elementos que estão nas colunas pares
   9. os elementos que estão na primeira, terceira e quinta colunas, e na segunda e terceira linhas

2. Seja $A$ a matriz real dada por
   $$\left[\begin{array}{ccccc} -12 & 54 & 6 &-66 & 18\\ 68 & 61 & -5... ...8 & -7\\ 41 & 60 & 83 & -57 & 49\\ 6 &-66 & 27 & -62 & -62\end{array}\right].$$
   Instrua o Octave por forma a exibir, relativamente a $A$ ,
   1. toda a matriz
   2. o elemento (4,5)
   3. a terceira linha
   4. a quinta coluna
   5. a segunda e a quarta colunas
   6. os elementos que estão simultaneamente nas duas primeiras linhas e colunas
   7. os elementos que estão nas colunas ímpares
   8. os elementos que estão na primeira, terceira e quinta linhas, e na segunda e quarta colunas

3. Introduza as matrizes seguintes no Octave:
   $$A=\left[\begin{array}{cc} 2&1\\ 4 &-2 \\ -1 &8\end{array}\right],... ...12\end{array}\right], C=\left[\begin{array}{c} -10\\ -7 \\ 9\end{array}\right].$$
   1. Defina a matriz $D$ que iguala a matriz $A$ excepto as entradas (1,2) e (3,2) que valem, respectivamente, $-1$ e $7$ .
   2. Introduza o comando E=[D C] e descreva o conteúdo de $E$ à custa de $D$ e $C$ .
   3. Introduza o comando F=[D B] e descreva o conteúdo de $F$ à custa de $D$ e $B$ .
   4. Introduza o comando G=[E; B] e descreva o conteúdo de $G$ à custa de $E$ e $B$ .

4. Introduza, no Octave, as matrizes-coluna $b$ e $c$ cujas entradas são, respectivamente, e por ordem, $0,1,2,3$ e $3,4,5,6$ . Defina a matriz $A$ cujas colunas são $b$ e $c$ .

5. No Octave,
   1. Introduza as matrizes-linha $b$ e $c$ cujas entradas são, respectivamente, e por ordem, $0,-1,12,-23$ e $3,-4,0,3$ .
   2. Defina a matriz $A$ cujas linhas são $b$ e $c$ .
   3. Descreva o resultado do comando 5*b.
   4. Descreva o resultado do comando b+c.
   5. Descreva o resultado do comando [b;b-c;c].

6. Indique $A^T$ no caso de $A$ ser
   1. $\left[\begin{array}{cc} 1&8 \\ 3&4 \\ 2&2 \end{array}\right]$
   2. $\left[\begin{array}{ccc} 1&4&1 \\ 2&3&0 \\ 1&4&5 \end{array}\right]$

7. Considere as matrizes reais
   $$A=\left[\begin{array}{cccc}1& 0& -1& 3\\ 2 &1 &4 &-2\\ 0 &-5& 0 &... ...cccc}2 &1 &-5& -2\\ -3& 4& -1& 3\\ 0 &2 &2 &1\\ 7 &13& -52& 3\end{array}\right]$$
   1. Defina-as no Octave.
   2. Calcule $AB$ e $BA$ e compare as respostas. O que pode inferir sobre o produto matricial?
   3. Faça o produto da linha $i$ de $A$ com a coluna $j$ de $B$ (fazendo $i,j$ variar de 1 até 4), e compare o resultado com a entrada (i,j) de $AB$ .
   4. Calcule $(AB)H$ e $A(BH)$ e compare os resultados. O resultado final ilustra que propriedade do produto?
   5. Calcule $(A+B)H$ e $AH+BH$ e compare os resultados. O resultado final ilustra que propriedade das operações matriciais?

8. $S,T,U$ são matrizes reais, resp. $3\times 4,4\times 2,2\times 5$ aleatórias geradas no Octave pelas instruções

   S=fix(200*rand(3,4)-100);
   T=fix(200*rand(4,2)-100);
   U=fix(200*rand(2,5)-100);
   

   1. Calcule $(ST)U$ e $S(TU)$ e compare os resultados, fazendo-o repetidas vezes, inicializando a cada passo os valores de $S,T,U$ . O resultado final ilustra que propriedade do produto?
   2. Verifique que $(ST)^T=T^TS^T$ , para várias escolhas aleatórias de $S$ e $T$ .

9. Considere a matriz real $A=\left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 4&5&6\\ 7&8&9\end{array}\right]$ . Considere ainda $e_1=\left[\begin{array}{ccc}1 & 0 &0\end{array}\right]^T,e_2=\left[\begin{arra... ... 0\end{array}\right]^T, e_3=\left[\begin{array}{ccc}0& 0 &1\end{array}\right]^T$ .
   1. Faça os produtos $Ae_1,Ae_2,Ae_3,e_1^TA,e_2^TA,e_3^TA$ . O que pode inferir dos produtos?
   2. Compare $A(e_1+e_2)$ com $A\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 0\end{array}\right]^T$ .
   3. Preveja, e confirme, o resultado de
      1. $A\left[\begin{array}{ccc}2& 0 &0\end{array}\right]^T$
      2. $A\left[\begin{array}{ccc}0& -1&0\end{array}\right]^T$
      3. $A\left[\begin{array}{ccc}2 &-1& 0\end{array}\right]^T$
      4. $A\left[\begin{array}{ccc}1& 1& 1\end{array}\right]^T$

10. Sejam
    $$A=\left[\begin{array}{ccc} 1&2&3\\ 1&2&3\\ 1&2&3 \end{array}\ri... ...\right]\, \, \, C=\left[\begin{array}{ccc} 1&3\\ 2&3\\ 0&0 \end{array}\right]$$
    $$D=\left[\begin{array}{cccc} 1&3&5&3\\ 2&4&5&1\\ 1&1&0&2 \end{array}\right]\, \, \, E=\left[\begin{array}{ccc} 1&2&4\\ 6&0&7 \end{array}\right]$$

    Indique quais das seguintes operações estão bem definidas, e neste caso efectue-as:

    (a) $A+B$	(b) $B+C$	(c) $AB$	(d) $BA$	(e) $AC$	(f) $CA$
    (g) $EC$	(h) $CE$	(i) $AD$	(j) $ED$	(k) $AE$	(l) $EA$
    (m) $CC$	(n) $3CD$	(o) $B(CE)$	(p) $(CE)B$

11. Calcule as expressões seguintes:
    1. $\left[\begin{array}{cc}4&3\\ 7&5\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}-2& 4\\ 3&-1 \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}7&3\\ 2&1 \end{array}\right]$
    2. $\left[\begin{array}{ccc}0&2&-1\\ -2&-1&2 \\ 3&-2&-1 \end{array}\right]\left[\b... ...d{array}\right]\left[\begin{array}{ccc} 0&1&4\\ 0&3&3\\ 0&0&0\end{array}\right]$
    3. $\left[\begin{array}{ccc}0&0&1\\ 1&0&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 2&0 \\ -2 & 1\\ 0&4 \end{array}\right]$
    4. $\left[\begin{array}{cc}1&-2\\ 3&-4\end{array}\right]^3$
    5. $\left[\begin{array}{cc}4&-1\\ 5&-2\end{array}\right]^5$