Uma matriz do tipo
sobre
é uma tabela com
elementos de
, elementos esses dispostos em
linhas e
colunas:
O conjunto de todas as matrizes (do tipo)
sobre
representa-se por
ou por
, e o conjunto de todas as matrizes (finitas) sobre
por
.
denota
.
Alguns exemplos de matrizes:
Quando conveniente, escrevemos a matriz da definição anterior como
Duas matrizes
são iguais se
, para
. Ou seja, duas matrizes são iguais se têm o mesmo número de linhas e o mesmo número de colunas, e que os elementos na mesma linha e coluna são iguais.
Uma matriz do tipo por
diz-se quadrada de ordem
se
, ou seja, se o número de linhas iguala o de colunas; diz-se rectangular caso contrário. Por exemplo, são quadradas as matrizes
Os elementos diagonais de
são
.
Por exemplo, os elementos diagonais de
são
e
, e os da matriz
são
e
.
Nos exemplos atrás apresentados, apenas a matriz é quadrada, sendo as restantes rectangulares. Os elementos diagonais de
são
.
Octave
Suponha que se pretende definir a matriz
. Para tal, faz-se
> A=[1 2;2 3] A = 1 2 2 3A entrada
> A(1,2) ans = 2A primeira linha e a segunda coluna da matriz são mostradas com, respectivamente,
> A(1,:) ans = 1 2 > A(:,2) ans = 2 3Considere agora a matriz
> B=[1 2-i 3i; 0 sqrt(2) -1] B = 1.00000 + 0.00000i 2.00000 - 1.00000i 0.00000 + 3.00000i 0.00000 + 0.00000i 1.41421 + 0.00000i -1.00000 + 0.00000iNo Octave, todas as constantes numéricas são representadas no formato de vírgula flutuante com dupla precisão (as constantes complexas são memorizadas como pares de valores de vírgula flutuante de dupla precisão). O Octave, por defeito, apenas mostra uma parte do valor que armazenou.
> format long > B=[1, 2-i, 3i; 0, sqrt(2), -1] B = Column 1: 1.000000000000000 + 0.000000000000000i 0.000000000000000 + 0.000000000000000i Column 2: 2.000000000000000 - 1.000000000000000i 1.414213562373095 + 0.000000000000000i Column 3: 0.000000000000000 + 3.000000000000000i -1.000000000000000 + 0.000000000000000i
> format > B B = 1.00000 + 0.00000i 2.00000 - 1.00000i 0.00000 + 3.00000i 0.00000 + 0.00000i 1.41421 + 0.00000i -1.00000 + 0.00000i
Suponhamos agora que se pretende definir como a matriz constituída pelos elementos que estão nas linhas de
e que estão nas colunas 1 e 2 de
. Para tal, usa-se o comando B(:,1:2). Aqui, o primeiro : indica que se pretender usar todas as linhas de
. O argumento 1:2 indica que consideram da primeira à segunda colunas de
.
> C=B(:,1:2) ans = 1.00000 + 0.00000i 2.00000 - 1.00000i 0.00000 + 0.00000i 1.41421 + 0.00000iSe se pretender a coluna 1 e 3, então usa-se a instrução B(:,[1,3]). Uma forma mais rebuscada seria usar o argumento 1:2:3. A sintaxe é simples: início:incremento:final. Assim sendo,
> B(:,1:2:3) ans = 1 + 0i 0 + 3i 0 + 0i -1 + 0iFinalmente, podemos concatenar a matriz
> [B(:,1:2:3) A] ans = 1 + 0i 0 + 3i 1 + 0i 2 + 0i 0 + 0i -1 + 0i 2 + 0i 3 + 0i > [B(:,1:2:3); A] ans = 1 + 0i 0 + 3i 0 + 0i -1 + 0i 1 + 0i 2 + 0i 2 + 0i 3 + 0iPreste atenção que nem sempre estas operações são possíveis. Uma das causas de falha é o número de linhas ou colunas não compatível.
Finalmente, obtém-se a conjugada de uma matriz conjugando as componentes da matriz dada. Ou seja, a matriz conjugada de
, denotada como
, é a matriz
definida por
. Por exemplo,
> conj (B) ans = 1.00000 - 0.00000i 2.00000 + 1.00000i 0.00000 - 3.00000i 0.00000 - 0.00000i 1.41421 - 0.00000i -1.00000 - 0.00000i
Apresentamos, de seguida, alguns tipos especiais de matrizes.