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Nos resultados que se seguem descrevemos algumas propriedades dos valores própios.
Teorema 5.2.1
Dada uma matriz quadrada

,
Recorde que
.
Teorema 5.2.2
Os valores próprios de uma matriz triangular (inferior ou superior) são os seus elementos diagonais.
Seja
triangular superior,
. Ora
é o conjunto das soluções de
. Mas
é de novo uma matriz triangular superior já que
é diagonal. Portanto
é o produto dos seus elementos diagonais, ou seja,
, que tem como raizes
.
Teorema 5.2.3
Uma matriz

, quadrada, é invertível se e só se

.
Sejam
uma matriz quadrada de ordem
e
o polinómio característico de
. Ora
se e só
se 0 é raiz de
, ou de forma equivalente,
.
Por definição,
. Tomando
obtemos
. tal implica que
se e só se
. Portanto
não é invertível se e só se
o que por
sua vez vimos ser equivalente a
.
Teorema 5.2.4
Sejam

uma matriz quadrada e

. Se

e

é
vector próprio associado a

então

e

é vector próprio de

associado a

.
Se
e
é vector próprio associado a
então
. Desta igualdade segue que, para
qualquer
, se tem
e portanto
e
é vector próprio de
associado a
.
Recordamos que uma matriz
,
, se diz nilpotente se existir um natural
para o qual
.
Alertamos ainda para o facto de
;
isto é, a matriz nula só tem um valor próprio: o zero.
Corolário 5.2.5
Se

é uma matriz nilpotente então

.
Suponha que
é tal que
. Seja
. Então
é valor próprio de
;
portanto,
, do que segue que
.
Terminamos esta secção com duas observações, omitindo a sua prova:
- (i)
- O determinante de uma matriz iguala o produto dos seus valores próprios.
- (ii)
- O traço de uma matriz (ou seja, a soma dos elementos diagonais de uma matriz) iguala a soma dos seus valores próprios.
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Pedro Patricio
2008-01-08