Propriedades

São consequência da definição os resultados que de seguida apresentamos, dos quais omitimos a demonstração.

Teorema 2.4.2   Seja $A$ uma matriz quadrada.

1. Se $A$ tem uma linha ou uma coluna nula então $\vert A\vert=0$.
2. $\vert A\vert=\vert A^T\vert$.
3. Se $A$ é triangular (inferior ou superior) então $\vert A\vert=\displaystyle\prod_{i=1,\dots,n} (A)_{ii}$.
4. $\vert P_{ij}\vert=-1,\vert D_k(a)\vert=a,\vert E_{ij}(a)\vert=1,$ com $i \ne j$.

Daqui segue que $\vert I_n\vert=1$. Segue também que dada uma matriz tringular (inferior ou superior) que esta é invertível se e só se tiver determinante não nulo. Mais adiante, apresentaremos um resultado que generaliza esta equivalência para matrizes quadradas não necessariamente triangulares.

Teorema 2.4.3   Dada uma matriz $A$ quadrada, $a \in {\mathbb{K}}$,

1. $\vert D_i(a)A\vert=a\vert A\vert=\vert AD_i(a)\vert$;
2. $\vert P_{ij}A\vert=\vert AP_{ij}\vert=-\vert A\vert$;
3. $\vert E_{ij}(a)A\vert=\vert A\vert=\vert AE_{ij}(a)\vert$.

Como $\vert D_i(A)\vert=a,\vert P_{ij}\vert=-1$ e $\vert E_{ij}(a)\vert=1$, segue que $\vert D_i(a)A\vert=\vert D_i(a)\vert\vert A\vert$, $\vert P_{ij}A\vert=\vert P_{ij}\vert\vert A\vert$ e que $\vert E_{ij}(a)A\vert=\vert E_{ij}(a)\vert\vert A\vert$. Repare ainda que, se $A$ é $n\times n$, é válida a igualdade $\vert\alpha A\vert=\alpha^n \vert A\vert$, já que $\alpha A=\prod_{i=1}^n D_i(\alpha)A$. De forma análoga, dada uma matriz diagonal $D$ com elementos diagonais $d_1,d_2,\dots,d_n$, tem-se $\vert DA\vert=d_1d_2\cdots d_n \vert A\vert=\vert D\vert\vert A\vert$.

Corolário 2.4.4   Uma matriz com duas linhas/colunas iguais tem determinante nulo.

Se a matriz tem duas linhas iguais, digamos $i$ e $j$, basta subtrair uma à outra, que corresponde a multiplicar à esquerda pela matriz $E_{ij}(-1)$. A matriz resultante tem uma linha nula, e portanto tem determinante zero. Para colunas iguais, basta aplicar o mesmo raciocínio a $A^T$.

O corolário anterior é passível de ser generalizado considerando não linhas iguais, mas tal que uma linha se escreva como soma de múltiplos de outras linhas. O mesmo se aplica a colunas.

Corolário 2.4.5   Tem determinante nulo uma matriz que tenha uma linha que se escreve como a soma de múltiplos de outras das suas linhas.

Suponha que a linha $i$, $\ell_i$, de uma matriz $A$ se escreve como a soma de múltiplos de outras das suas linhas, ou seja, que $\ell_i=\sum_{j\in J} \alpha_j\ell_j= \alpha_j{_1}\ell_{j_1}+\alpha_{j_2}\ell_{j_2}+\dots +\alpha_{j_s}\ell_{j_s}$. A linha $i$ de $E_{ij_1}(-\alpha_{j_1}) A$ é a matriz obtida de $A$ substituindo a sua linha $i$ por $\ell_i- \alpha_{j_1}\ell_{j_1}=\alpha_{j_2}\ell_{j_2}+\dots +\alpha_{j_s}\ell_{j_s}$. Procedemos ao mesmo tipo de operações elementares por forma a obtermos uma matriz cuja linha $i$ é nula. Como o determinante de cada uma das matrizes obtidas por operação elementar de linhas iguala o determinante de $A$, e como a última matriz tem uma linha nula, e logo o seu determinante é zero, segue que $\vert A\vert=0$.

Corolário 2.4.6   Seja $U$ a matriz obtida da matriz quadrada $A$ por Gauss. Então $\vert A\vert=(-1)^r \vert U\vert$, onde $r$ indica o número de trocas de linhas no algoritmo.

Sabendo que uma matriz é invertível se e só se a matriz escada associada (por aplicação de Gauss) é invertível, e que esta sendo triangular superior é invertível se e só se os seus elementos diagonais são todos nulos, segue que, e fazendo uso de resultados enunciados e provados anteriormente,

Corolário 2.4.7   Sendo $A$ uma matriz quadrada de ordem $n$, as afirmações seguintes são equivalentes:

1. $A$ é invertível;
2. $\vert A\vert\ne 0$;
3. $\mathrm{car}(A)=n$;
4. $A$ é não-singular.

Portanto, uma matriz com duas linhas/colunas iguais não é invertível. Mais, uma matriz que tenha uma linha que se escreva como soma de múltiplos de outras das suas linhas não é invertível.

Teorema 2.4.8   Seja $A$ e $B$ matrizes $n\times n$.

$$\vert AB\vert=\vert A\vert\vert B\vert.$$

Suponha que $A$ é invertível.

Existem matrizes elementares $E_1,\dots,E_s$ e uma matriz escada (de linhas) $U$ tal que $A=E_1E_2\dots E_s U$. Ora existem também $E_{s+1},\dots,E_{r}$ matrizes elementares, e $U_1$ matriz escada de linhas para as quais $U^T=E_{s+1}\dots E_{r} U_1$. Note que neste último caso se pode assumir que não houve trocas de linhas, já que os pivots do AEG são os elementos diagonais de $U$ já que $U^T$ é triangular inferior, que são não nulos por $A$ ser invertível. Ora $U_1$ é então uma matriz triangular superior que se pode escrever como produto de matrizes triangulares inferiores, e portanto $U_1$ é uma matriz diagonal. Seja $D=U_1$. Resumindo, $A=E_1E_2\dots E_s (E_{s+1}\dots E_{r} D)^T=E_1E_2\dots E_s D E_r^T E_{r-1}^T\dots E_{s+1}^T$. Recorde que, dada uma matriz elementar $E$, é válida $\vert EB\vert=\vert E\vert\vert B\vert$. Então,

$$\vert AB\vert = \vert E_1E_2\dots E_s D E_r^T E_{r-1}^T\dots E_{s+1}^T B\vert$$

$$= \vert E_1\vert\vert E_2\dots E_s D E_r^T E_{r-1}^T\dots E_{s+1}^T B\vert$$

$$= \vert E_1\vert\vert E_2\vert\vert E_3 \dots E_s D E_r^T E_{r-1}^T\dots E_{s+1}^T B\vert$$

$$= \cdots$$

$$= \vert E_1\vert\vert E_2\vert\vert E_3 \vert\dots \vert E_s \vert\... ...\vert\vert E_r^T\vert\vert E_{r-1}^T\vert\dots\vert E_{s+1}^T \vert\vert B\vert$$

$$= \vert E_1E_2E_3 \dots E_s D E_r^T E_{r-1}^T\dots E_{s+1}^T \vert\vert B\vert$$

$$= \vert A\vert\vert B\vert.$$

Se $A$ não é invertível, e portanto $\vert A\vert=0$, então $AB$ não pode ser invertível, e portanto $\vert AB\vert=0$.

Como $\vert I_n\vert=1$, segue do teorema anterior a relação entre o determinante uma matriz invertível com o da sua inversa.

Corolário 2.4.9   Se $A$ é uma matriz invertível então

$$\vert A^{-1}\vert=\frac{1}{\vert A\vert}.$$

Recorde que para que uma matriz $A$ seja invertível exige-se a existência de uma outra $X$ para a qual $AX=I_n=XA$. O resultado seguinte mostra que se pode prescindir da verificação de uma das igualdades.

Corolário 2.4.10   Seja $A$ uma matriz $n\times n$. São equivalentes:

1. $A$ é invertível
2. existe uma matriz $X$ para a qual $AX=I_n$
3. existe uma matriz $Y$ para a qual $YA=I_n$

Nesse caso, $A^{-1}=X=Y$.

As equivalências são imediatas, já que se $AX=I_n$ então $1=\vert I_n\vert=\vert AX\vert=\vert A\vert\vert X\vert$ e portanto $\vert A\vert\ne 0$.

Para mostrar que $A^{-1}=X$, repare que como $AX=I_n$ então $A$ é invertível, e portanto $A^{-1}AX=A^{-1}$, donde $X=A^{-1}$.

Faça a identificação dos vectores $(a,b)\in {\mathbb{R}}^2$ com as matrizes coluna $\left[\begin{array}{c}a b\end{array}\right]$. O produto interno usual $(u_1,u_2)\cdot (v_1,v_2)$ em ${\mathbb{R}}^2$ pode ser encarado como o produto matricial $\left[\begin{array}{cc} u_1 &u_2\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}v_1 v_2\end{array}\right]$. Ou seja, $u\cdot v=u^Tv$. Esta identificação e noção pode ser generalizada de forma trivial para ${\mathbb{R}}^n$. Dois vectores $u$ e $v$ de ${\mathbb{R}}^n$ dizem-se ortogonais, $u \perp v$, se $u\cdot v=u^T v=0$. A norma usual em ${\mathbb{R}}^n$ é definida por $\Vert u\Vert=\sqrt{u\cdot u}$, com $u\in {\mathbb{R}}^n$

Corolário 2.4.11   Seja $A$ uma matriz real $n\times n$ com colunas $c_1,c_2,\dots ,c_n$. Então $A$ é ortogonal se e só se $c_i \perp c_j =0$ se $i \ne j$, e $\Vert c_i\Vert =1$, para $i,j=1, \dots, n$.

Condição suficiente: Escrevendo $A=\left[\begin{array}{ccc} c_1 & \cdots & c_n \end{array}\right]$, temos que

$$I_n= A^TA= \left[\begin{array}{c} c_1^T c_2^T \vdots c_n... ...}\right] \left[\begin{array}{cccc} c_1 & c_2 & \cdots & c_n \end{array}\right].$$

Como o elemento $(i,j)$ de $\left[\begin{array}{c} c_1^T c_2^T \vdots c_n^T \end{array}\right] \left[\begin{array}{cccc} c_1 & c_2 & \cdots & c_n \end{array}\right]$ é $c_i^T c_j$, obtemos o resultado.
Condição necessária: Ora $c_i^T c_j =0$ se $i \ne j$, e $c_i^T c_i =1$ é o mesmo que $A^TA=I_n$, e pelo corolário anterior implica que $A$ é invertível com $A^{-1}=A^T$, pelo que $A$ é ortogonal.

Ou seja, as colunas das matrizes ortogonais são ortogonais duas a duas. O mesmo se pode dizer acerca das linhas, já que a transposta de uma matriz ortogonal é de novo uma matriz ortogonal.